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474 REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.

"£1’.t’ n~ru.c~ vai .umarntayyV~ ~t v~ lI1VIiL. L’imaginaire (0, 1) n’est pas un facteur négligeable, car (a, b) X {0, 1} = (- b, a)

et en particulier (0, 1) X (0, 1) = ( – 1,0) = – 1 en vertu de l’identifîcation déjà faite.

Tout nombre imaginaire (a, b) peut être considéré comme la somme d’un nombre de la forme (a, 0) et d’un autre de la forme (0, b), c’est-à-dire d’un nombre réel et d’un nombre purement imaginaire. D’autre part, tout nombre purement imaginaire est le produit d’un nombre réel par (0, 1)

(i,.0)x(0, 1) = {0, 6) ; i

donc tout nombre imaginaire peut s’écrire a -+- bï, a et b étant des nombres réels et i représentant (0, 1). Cette lettre i n’est pas un o coefficient, bien que dans les calculs on la traite comme telle, mais un signe agghtlinatif indiquant le deuxième terme d’une imaginaire, quelle que soit sa position dans les écritures. L’expression nombre imaginaire est abandonnée de plus en plus pour celle de nombre complexe, qui répond beaucoup mieux à la conception claire et rigoureuse que nous venons de résumer ; pour la. même raison on doit toujours employer la lettre i au lieu du symbole absurde – 1.

On ne définit pas le sens de l’inégalité de deux nombres complexes cela tient à ce que l’ensemble de ces nombres n’est pas linéaire, mais superficiel, chacun d’eux étant formé de deux termes indépendants, et leur égalité en impliquant deux. Cet ensemble des nombres complexes englobe les nombres arithmétiques et les couples algébriques. Ces trois ensembles se distinguent d’ailleurs profondément par la définition de l’égalité. Nous ne pouvons malheureusement que signaler, à l’Appendice, une note sur la théorie générale des nombres complexes. Il en résulte que, parmi tous les ensembles possibles de nombres complexes à deux termes, le seul qui possède toutes les propriétés opératoires des nombres réels est celui que nous venons d’étudier, et que tous les ensembles de nombres complexes à plus de deux termes qui vérifient les propriétés essentielles du calcul des nombres réels peuvent se décomposer en ensembles analogues à l’ensemble des nombres réels et à celui des nombres imaginaires.