aux autres travaux antérieurement consacrés à la théorie du problème de Dirichlet, cette théorie devait, peu après, entrer dans une phase toute nouvelle et subir une révolution profonde dont l’utilité ressort, elle aussi, des remarques précédentes.
Son principe consiste à remplacer l’équation aux dérivées partielles, ainsi que les autres conditions auxquelles doit satisfaire la fonction inconnue, par une équation intégrale.
Ceci signifie que dans la nouvelle équation, au lieu de faire figurer l’inconnue sous des signes de dérivation, on la fait apparaître sous un signe d’intégration.
Les premiers sont évidemment une sorte de microscope par lequel on représente des relations dans l’infiniment petit. Le second, au contraire, est essentiellement synthèse et non analyse. Point n’est besoin dès lors de longues explications pour comprendre que son emploi soit autrement bien adapté aux circonstances dont nous avons parlé que celui de la différenciation.
Ce changement complet d’orientation dans l’étude du problème de Dirichlet et de tous les problèmes analogues de la physique mathématique évoque, tout d’abord, le nom de M, Fredholm.
On se tromperait cependant du tout au tout en n’y rattachant pas également, et d’une manière très étroite, celui de Poincaré. Ce serait méconnaître cette vérité aujourd’hui banale que les manifestations les plus originales, les plus inattendues de l’esprit humain sont le produit non seulement du cerveau de leur auteur, mais de toute l’époque qui les a vues naître.
Or notre époque, au point de vue mathématique, c’est, avant tout, Poincaré.
Voyons comment son œuvre a été une condition indispensable à la naissance de la nouvelle méthode.
La première étape qui devait conduire à celle-ci peut être cherchée dans le célèbre travail de M. Schwarz inséré, à l’occasion du jubilé de Weierstrass, dans les Acta Societatis Fennicae (1885).
Le point de départ de M. Schwarz est une question d’Analyse, empruntée au Calcul des Variations. Mais le résultat obtenu admet une interprétation physique immédiate. L’équation aux dérivées partielles considérée par M. Schwarz est immédiatement liée à celle qui gouverne les vibrations d’une membrane tendue et ce qu’il obtient, c’est le son fondamental, lequel se présente comme corres-
