parois, — de sorte que, pour achever de le définir, il faut écrire un système de conditions aux limites, exprimant le rôle joué par les parois en question, — une difficulté d’un tout autre ordre apparaît.
Il est encore vrai que, au voisinage d’un point quelconque, la solution est le plus souvent représentable par des développements en série du même type que dans les problèmes précédents.
Mais, cette fois, aucun de ces éléments de solution, — non pas même le premier[1], comme il arrivait pour les équations différentielles ordinaires — ne peut être déterminé isolément : la connaissance de chacun d’eux est inséparable de celle de tous les autres.
C’est le renversement de tout ce que nous avions dit jusqu’ici, du principe même qui, en toutes les autres circonstances, guide la marche du calcul intégral : la division de la difficulté en une difficulté locale et une difficulté de synthèse. Une telle division est ici radicalement impossible.
Aussi l’apparition de ces sortes de problèmes — et surtout du premier de tous, celui qui leur a servi de type, le problème de Dirichlet — a-t-elle changé profondément toute l’allure de la mathématique moderne.
Cet exemple est précisément un de ceux que Poincaré a choisi pour montrer[2] comment la Physique impose aux mathématiques des problèmes auxquels elle n’aurait pas songé à elle seule.
On voit qu’il n’en pouvait exister de plus typique tant l’idée du problème de Dirichlet, ainsi imposé par la Physique, semble contraire à tout l’esprit qui domine le reste du calcul infinitésimal.
Un tel problème ne pouvait manquer d’attirer l’attention de
Poincaré comme il avait attiré celle de plusieurs de ses prédécesseurs. Une nouvelle solution qu’il y apporta, la méthode du balayage, s’inspire très directement de la nature même des choses de cette interdépendance mutuelle de toutes les parties de la solution telle que nous venons de la signaler.
Mais, alors que la méthode du balayage elle-même se rattache
