Par une méthode de forme toute nouvelle, il montre que tout se ramené a un théorème de géométrie relatif aux transformation des figures planes et, que, par eonséquent. la démonstration de ce théorème équivaudrait à la résolution de la question posée (au moins dans le premier cas que l’on soit conduit à aborder).
Cette démonstration, que Poincaré s’excusait de ne pouvoir fournir, fut donnée, peu de mois après sa mort, par M. Birkhoff déserte que les résultats qu’il énonçait à titre hypothétique sont définitivement acquis aujourd’hui.
Invariants intégraux, solutions périodiques, solutions asymptotiques. sont les matériaux dont sont tissées les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Nous ne saurions, sans entrer dans des détails techniques, donner même une idée des relations établies entre eux dans cet ouvrage ni de l’usage qui en est fait
Disons seulement que ce sont les invariants intégraux qui ont permis a Poincaré d’élucider, dans des cas relativement étendus le problème de la stabilité des trajectoires, c’est-à-dire celui qui correspond, pour un système dynamique quelconque, à celui de la stabilité du système solaire.
Le mot « stabilité », comme il le constate tout d’abord, a un sens différent chez Laplace qui a démontré cette stabilité en première approximation et chez Poisson, qui a passé à l’approximation du second ordre.
C’est cette stabilité au sens de Poisson (moins précis que celui de Laplace) que dans une catégorie étendue de mouvements (laquelle toutefois n’embrasse pas notre système solaire) il a pu démontrer d’une manière rigoureuse et non plus approximative.
Par contre, son résultat a une signification toute différente de ceux qui avaient été obtenus antérieurement. Il ne gouverne pas toutes les trajectoires sans exception, mais à des trajectoires exceptionnelles près.
Les mots « trajectoires exceptionnelles » doivent s’interpréter ici, a l’aide du Calcul des probabilités : ils veulent dire que une trajectoire étant prise au hasard, la probabilité pour qu’elle soit une de celles qui mettent en défaut le théorème est infiniment petite (et non pas seulement très petite).
