et l’autre ; elle est aujourd’hui à la base de toutes les théories cinétiques[1].
Mais à ce premier invariant intégral, Poincaré en joindra toute une série d’autres dont il indiquera les relations avec le premier. Le « volume », considéré tout à l’heure, s’exprime par une intégrale d’ordre 2n étendue à une portion de l’espace. Poincaré constate que toute une série d’intégrales de tous les ordres, c’est-à-dire simples, doubles, etc., le volume n’étant que la dernière d’entre elles, possèdent la même propriété d’invariance.
Dans le mémoire qui nous occupe actuellement, c’est le volume qui suffit à trancher la question relative aux constantes C ci-dessus mentionnées, c’est-à-dire à montrer que toutes ces expressions sont nulles.
Par contre, une objection nouvelle apparaît qui avait pu être réfutée dans le cas du premier ordre. Le fait, supposé établi, de l’évanouissement des constantes C, aurait alors suffi pour mettre en évidence d’une manière certaine la disposition envisagée des courbes intégrales. Il n’en est plus de même cette fois. Les constantes C interviennent, en effet, par l’intermédiaire d’un développement en série, lequel peut n’être et n’est, en général, que formel. La difficulté qui se présente ici n’est d’ailleurs autre que l’une des difficultés fondamentales de la Mécanique céleste, la présence de petits diviseurs.
Grâce à ces « petits diviseurs », les développements en séries les plus importants qui ont été formés pour rendre compte des mouvements des corps célestes peuvent être divergents. Mais ne peuvent-ils cependant fournir sur certaines propriétés des solutions — particulièrement sur les propriétés qualitatives — les indications qu’on en déduirait en toute rigueur s’ils étaient convergents ? On a été souvent porté à le penser.
Or, dans le problème particulier dont nous nous occupons en ce moment — et nous retrouverons ce fait plus loin, — non seulement le développement en série ne suffit pas à démontrer l’existence des surfaces tubulaires, mais, sur certains cas de cette nature, Poincaré
- ↑ Le théorème de la stabilité à la Poisson, l’une des applications les plus importantes des invariants intégraux, a été également énoncé et démontré par Gibbs, mais en 1898 seulement.
Il ne se trouve pas, à notre connaissance, dans les travaux de Boltzmann.
