Il peut arriver que notre courbe fermée soit entourée d’une famille de surfaces fermées tubulaires (analogues aux tores contenant à leur intérieur une circonférence de l’espace) telles que chacune d’elles soit un lieu de courbes intégrales.
Mais — et la difficulté correspondante se présentait déjà dans le cas du premier ordre — cette disposition ne peut pas, pour un système différentiel absolument quelconque, se reconnaître par un nombre fini d’opérations : elle implique, en effet, comme condition nécessaire, qu’une infinité d’expressions constantes C soient égales à zéro, ce que, en l’absence d’autres renseignements, les calculs ne permettent jamais d’affirmer, si loin qu’on les pousse.
Pour les équations de la dynamique il en est autrement, et l’on sait a priori que toutes les constantes C sont nulles.
Pour le démontrer, un nouveau principe intervient, la notion d’invariant intégral. Cette fois encore il s’agit, mais sous une nouvelle forme, de la considération simultanée des différentes courbes intégrales et des relations qu’elles ont entre elles.
Représentons-nous notre système d’équations différentielles comme définissant le mouvement d’une molécule fiuide. Au lieu de considérer une seule trajectoire, c’est-à-dire le mouvement d’une molécule unique et déterminée, on considérera toutes les molécules, qui, à un instant déterminé t, remplissent un volume déterminé V de l’espace (plus exactement de l’espace à 2n dimensions, s’il s’agit d’un problème de dynamique dans lequel l’état du système à étudier dépende de n paramètres).
Si maintenant on considère les nouvelles positions de ces mêmes molécules à un instant ultérieur T, celles-ci rempliront un nouveau volume V.
Or, dans le cas des équations de la dynamique, quel que soit T, ce nouveau volume est équivalent à l’ancien. Autrement dit, V reste constant lorsque le temps varie : c’est, dans la terminologie de Poincaré, un invariant intégral.
Ainsi qu’il a été reconnu ensuite, cette belle découverte est déjà ancienne : on doit la faire remonter à Liouville.
Mais lors de sa première apparition, elle était passé inaperçue.
Elle avait même — tant son rôle est essentiel dans la dynamique générale — été retrouvée une première fois (1871) par Boltzmann qui ignorait le résultat de Liouville comme Poincaré a ignoré l’un
