l’étude des équations du premier ordre au voisinage immédiat d’un point singulier : c’est ce que l’on constate en bornant l’une quelconque des courbes en question à la suite de ses points d’intersection successifs avec une petite surface normale à la courbe donnée.
Poincaré met d’ailleurs en évidence la raison de ce parallélisme. Elle doit être cherchée dans l’étroite parenté qui existe entre l’étude des équations différentielles et celles, beaucoup moins avancée, des équations « aux différences finies ». Ce n’est pas la première fois que Poincaré éclairait, par le même rapprochement, cette dernière question. Les intégrales irrégulières des équations différentielles linéaires lui avaient fourni une illustration du même principe, dont les travaux ultérieurs devaient montrer la fécondité.
Plus tard, lorsqu’il eut à passer au problème des trois corps, cette même recherche se présenta à lui pour des systèmes d’ordre supérieur au second. La généralisation, remarquons-le, n’était pas évidente ou, plus exactement, ne l’aurait pas été sans le complément que la Thèse de Poincaré avait préalablement apporté à l’étude des systèmes différentiels au voisinage des points singuliers. En effet, dans ce cas, l’introduction de plusieurs inconnues crée une difficulté d’un genre nouveau dont on ne savait pas triompher avant le travail en question. C’est donc grâce à lui qu’il put démontrer l’existence de ces solutions asymptotiques dont ce que nous avons dit sur les cycles limites dans les équations du premier ordre et du premier degré fait concevoir dans une certaine mesure la disposition et qui sont une importante conquête de la Mécanique analytique.
Jusqu’au moment dont nous parlons, d’ailleurs, celle-ci n’a pas été envisagée d’une manière spéciale. Les résultats précédents concernent un système quelconque d’équations différentielles.
Les propriétés particulières des équations de la Dynamique apparaissent une première fois dès le quatrième mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle.
Dans le cas d’un système quelconque, Poincaré obtient aisément la disposition des courbes intégrales voisines d’une courbe intégrale fermée donnée dans tous les cas principaux, un seul excepté.
