Mais c’est à Poincaré qu’il appartient d’avoir montré dans les solutions périodiques un instrument, l’un des plus puissants dont on dispose pour la recherche et l’étude des autres solutions.
Que les solutions périodiques soient capables de jouer ce rôle capital, c’est ce que, après les réflexions qui précèdent, nous pouvons faire comprendre d’un mot.
Une courbe intégrale fermée déterminée étant supposée connue, Poincaré considère toutes les courbes intégrales voisines de celle-là. On voit immédiatement qu’une telle question est à cheval sur les deux points de vue entre lesquels pivote toute la théorie des équations différentielles ; et cela, en combinant les avantages de tous deux. Accessible aux mêmes procédés qui s’appliquent au domaine local, elle est d’emblée cependant en dehors de ce domaine, puisque les nouvelles trajectoires obtenues n’évoluent nullement au voisinage d’un point unique et sont étudiées sur des parcours aussi étendus que la solution périodique primitive elle-même.
Ainsi s’explique comment les solutions périodiques se sont montrées « la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu’ici réputée inabordable[1] ».
En faisant pour le voisinage d’une solution périodique ce que nous avons fait pour le voisinage d’un point unique, c’est la même marche ascensionnelle que nous entreprendrons, mais avec un point de départ plus élevé.
Cette identité de méthode se vérifie bien lorsqu’on examine le détail des opérations. De même que tout le calcul infinitésimal repose sur la comparaison approchée d’un stade de variation d’un phénomène quelconque avec les stades infiniment voisins, on commencera par étudier, en vue du nouveau problème, les solutions infiniment voisines d’une solution donnée.
Cette étude prépare celle des courbes intégrales suffisamment (et non plus infiniment) voisines de la courbe fermée donnée. Poincaré l’entreprend, en ce qui regarde le second ordre, dès le quatrième et dernier mémoire de la série dont nous parlons. L’analogie que nous avons essayé de faire ressortir tout à l’heure se manifeste d’une manière tout à fait imprévue dans les résultats. La disposition des courbes nouvelles autour de la courbe primitive rappelle d’une manière frappante les formes rencontrées précédemment dans
- ↑ Poincaré, Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste.
