Ces résultats si extraordinaires demandaient à être complétés par la recherche effective des cycles limites lorsque l’équation est donnée
C’est une question d’une extrême difficulté, même si l’on entend se borner a une détermination approximative.
Poincaré triomphe, totalement ou partiellement, suivant les cas, de cette difficulté en introduisant un second principe qui sert de fondement à toutes les autres recherches sur ce sujet[1].
Géométriquement parlant, il consiste à considérer le sens dans lequel une courbe prise arbitrairement est traversée par la courbe intégrale qui passe en un quelconque de ses points. On est ainsi conduit à donner une importance particulière aux courbes « sans contact », le long desquelles ce sens ne peut changer.
Les résultats précédents ne subsistent pas pour toutes les équations du premier ordre et de degré supérieur au premier en dy/dx ; mais ils s’étendent cependant d’eux-mêmes à un grand nombre d’entre elles.
Ce n’est pas, en effet, le degré qui joue ici le rôle essentiel : Poincaré rencontre une notion qui était apparue une première fois dans la science avec Riemann, mais dont les recherches que nous résumons en ce moment devraient montrer la véritable signification. C’est la Géométrie de situation, la science des propriétés géométriques qui ne changent pas quelles que soient les déformations subies par une figure, pourvu qu’il n’y intervienne ni déchirure, ni soudure.
Tant que l’on se borne au point de vue local, rien ne fait prévoir la nécessité d’une pareille étude. Sinon toutes les figures que les géomètres ont pu imaginer, du moins toutes celles dont ils se sont servis effectivement, soit pour les étudier en elles-mêmes, soit pour représenter des faits analytiques, sont identiques entre elles au point de vue de la géométrie de situation lorsqu’on se borne à les considérer dans leurs portions suffisamment petites, pourvu qu’elles aient simplement le même nombre de dimensions : par exemple, toute portion suffisamment restreinte de surface quelconque peut être remplacée à ce point de vue par un petit disque circulaire.
Aussi cette découverte est-elle de celles qui se firent le plus
- ↑ Ce principe trouve en particulier sa pleine expression dans un célèbre Mémoire de M. Liapounof sur la stabilité du mouvement.
