Le centre de la mathématique moderne est, nous l’avons dit, dans la théorie des équations difîérentielles et aux dérivées partielles.
Il nous faut maintenant montrer Poincaré aux prises avec ce double problème et tout d’abord, avec les équations différentielles.
La place n’est point de celles que l’on puisse emporter de haute lutte ; il faut l’attaquer successivement sur toute sorte de points et se contenter d’avantages partiels. Essayons d’énumérer les directions à suivre.
I. On peut se préoccuper de perfectionner l’étude que nous avons appelée locale des solutions.
II. Il faut, d’autre part, savoir découvrir les cas où celles-ci s’expriment à l’aide de fonctions connues. C’était à eux que l’on réduisait le problème aux débuts du Calcul infinitésimal. Tout déchus qu’ils soient de cette antique importance, il importe de ne pas les laisser échapper lorsque, exceptionnellement, ils existent.
III. A défaut des fonctions déjà, existantes, il peut arriver que certaines transcendantes nouvelles douées de propriétés qui en permettent l’étude et le calcul gouvernent, d’autre part, une catégorie étendue d’équations différentielles dont elles permettent d’exprimer les intégrales.
IV. On peut étudier les solutions supposées analytiques, au point de vue de la Théorie des fonctions et chercher les cas où elles se comportent à ce point de vue d’une manière remarquable.
V. On peut essayer de substituer dans le cas général, aux développements en séries qui conviennent localement, des développements de forme différente valables pour toutes les valeurs de la variable, etc.
Poincaré suivit avec succès toutes ces voies, en même temps que nous le verrons en frayer d’autres sinon entièrement nouvelles, du moins presque inexplorées avant lui, et plus fécondes que les premières.
Sa Thèse marque surtout un progrès essentiel au premier point de vue, l’étude locale des solutions.
