ment négative, du moins dans le cas général. Quelques catégories particulières avaient seules été étudiées. A la plus classique d’entre elles, celle des fonctions algébriques, Poincaré avait, dès la Thèse dont nous avons parlé plus haut, adjoint sa généralisation la plus naturelle et la plus importante, celle des fonctions algébroides, que ses recherches de Mécanique analytique devaient ramener souvent sous sa plume.
Dès que le nombre des variables devenait supérieur à 1, il ne restait de tout cela que le point de départ : le développement en série entière, applicable à une fonction analytique quelconque dans le voisinage d’un point non singulier, et à une fonction entière dans tout l’espace. En particulier, la décomposition en facteurs de ces fonctions entières n’ayant plus lieu, la démonstration donnée par Weierstrass de l’expression d’une fonction méromorphe par le quotient de deux fonctions entières disparaissait du même coup.
De l’outil qui permet de manier si sûrement les fonctions d’une variable, la théorie des fonctions de deux variables ne possédait que le manche.
Tel était l’état de cette branche de la science à la venue de Poincaré. Voyons comment, grâce à lui, l’évolution ultérieure fut possible.
Tout paraissait dit, en un sens, en ce qui regarde les fonctions entières d’une variable. Cependant, Laguerre avait montré à l’aide de formules de décomposition de facteurs, que, comme les polynômes, ces fonctions entières ne devaient pas être placées toutes sur le même plan et présentaient des degrés de complication inégaux tout au moins sous ce point de vue. Il avait appris à mesurer cette complication par un nombre, le genre.
Le problème se posa alors, pour Poincaré, de savoir si cette complication plus ou moins grande de la décomposition en facteurs de Weierstrass avait ou non son retentissement sur les autres propriétés de la fonction. Il put montrer qu’en effet toute limitation supposée connue pour le genre en entraînait une correspondante pour l’ordre de grandeur du module de la fonction elle-même et aussi pour celui des coefficients de son développement, c’est-à-dire pour ses propriétés les plus simples et, en général, le plus aisément constatables.
