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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

conséquent il en est de même de la dernière :

$\int \left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}\right]d\tau =0.$

L’élément différentiel est essentiellement positif, c’est une somme de carrés ; cette égalité entraîne donc les suivantes :

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0,$

ou

$u=0\quad v=0\quad w=0.$

La vitesse est donc nulle.

36. Liquide remplissant complètement un vase immobile. — 1^o Vase simplement connexe. — Appliquons encore le théorème de Green : en choisissant pour la surface d’intégration la surface des parois du vase, et pour le volume, le volume du vase. Puisque la paroi est immobile, la vitesse du liquide en un point de cette paroi ne peut être que tangentielle, et la composante normale ${\tfrac {d\varphi }{dn}}$ est nulle ; donc :

$\int \varphi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}d\omega =0\ ;$

comme $\Delta \varphi =0,$

$\int \varphi \Delta \varphi d\tau =0,$

et par conséquent :

$\int \left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}\right]d\tau =0.$