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THÉORÈME DE HELMHOLTZ DANS LE MOUVEMENT RELATIF

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théorème n’est plus vrai. On a :

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int d\psi +d\mathrm {T}$

avec

$d\psi =d\mathrm {V} -{\frac {dp}{\rho }},$

quand il existe un potentiel V.

S’il n'existe plus de potentiel

$d\psi =\mathrm {X} dx+\mathrm {U} dy+\mathrm {Z} dz-{\frac {dp}{\rho }}.$

Si le mouvement d’entraînement est par exemple une rotation autour de l’axe terrestre avec une vitesse angulaire $\omega _{0},$ on aura :

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=d\mathrm {V} +2\omega _{0}\left(vdx-udy\right)$

d’après le théorème de Coriolis, en comprenant dans le potentiel $\mathrm {V}$ la force centrifuge ordinaire, l’axe des $z$ étant l’axe de rotation. Il vient alors :

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left(d\mathrm {V} +d\mathrm {T} \right)+\int 2\omega _{0}\left(vdx-udy\right).$

La première intégrale est nulle, et il reste :

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=2\omega _{0}\int \left(vdx-udy\right).$

Soit $\mathrm {C}$ la courbe d’intégration ; projetons-la sur le plan de $xy\ ;$ soit $\mathrm {A}$ l’aire limitée par cette projection (fig. 43), soient $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ deux points infiniment voisins : les projections de $\mathrm {MM} '$ sur les trois axes sont $dx,$ $dy,$ $dz.$ Au bout du temps $dt,$