5. Théorème de Helmholtz. — Considérons une infinité de molécules fluides formant à l’instant une courbe fermée à l’instant ces molécules forment une autre courbe fermée (2). L’intégrale
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prise tout le long de la courbe est constante.
Ce n’est pas sous cette forme que Helmholtz a donné son théorème, mais sous une forme équivalente, comme nous le verrons plus loin.
Ce théorème renferme, comme cas particulier, celui de Lagrange : s’il existe à l’origine des temps un potentiel des vitesses, il en existe un à une époque quelconque.
En effet, dans ce cas, on a :
et l’intégrale est nulle à l’origine du temps. Si elle est constante, elle est toujours nulle, et l’expression sous le signe est toujours une différentielle exacte.
6. Démonstration du théorème. — Les équations de la courbe fermée seront :
étant des fonctions continues et périodiques de . De même, pour la courbe