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1^o La condition (1) ne devra pas être altérée par les transformations du groupe de Lorentz.

2^o Les composantes $X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}$ devront être affectées par les transformations de Lorentz de la même manière que les forces électromagnétiques désignées par les mêmes lettres, c’est-à-dire conformément aux équations (11^bis) du § 1.

3^o Quand les deux corps seront au repos, on devra retomber sur la loi ordinaire de l’attraction.

Il importe de remarquer que dans ce dernier cas, la relation (1) disparaît, car le temps $t$ ne joue plus aucun rôle si les deux corps sont au repos.

Le problème ainsi posé est évidemment indéterminé. Nous chercherons donc à satisfaire autant que possible à d’autres conditions complémentaires :

4^o Les observations astronomiques ne semblant pas montrer de dérogation sensible à la loi de Newton, nous choisirons la solution qui s’écarte le moins de cette loi, pour de faibles vitesses des deux corps.

5^o Nous nous efforcerons de nous arranger de façon que $t$ soit toujours négatif ; si en effet on conçoit que l’effet de la gravitation demande un certain temps pour se propager, il serait plus difficile de comprendre comment cet effet pourrait dépendre de la position non encore atteinte par le corps attirant.

Il y a un cas où l’indétermination du problème disparaît ; c’est celui où les deux corps sont en repos relatif l’un par rapport à l’autre, c’est-à-dire où :

$\xi =\xi _{1},\ \eta =\eta _{1},\ \zeta =\zeta _{1}\,;$

c’est donc le cas que nous allons examiner d’abord, en supposant que ces vitesses sont constantes, de telle sorte que les deux corps sont entraînés dans un mouvement de translation commun, rectiligne et uniforme.

Nous pourrons supposer que l’axe des $x$ a été pris parallèle à cette translation, de telle façon que $\eta =\zeta =0,$ et nous prendrons $\epsilon =-\xi .$

Si dans ces conditions nous appliquons la transformation de Lorentz, après la transformation les deux corps seront au repos et l’on aura :

$\xi '=\eta '=\zeta '=0\,$

Alors les composantes $X_{1}^{\prime },\ Y_{1}^{\prime },\ Z_{1}^{\prime }$ devront être conformes à la loi de Newton et on aura, à un facteur constant près :

(3)

${\begin{cases}X_{1}^{\prime }=-{\frac {x^{\prime }}{r^{\prime 3}}},\quad Y_{1}^{\prime }=-{\frac {y^{\prime }}{r^{\prime 3}}},\quad Z_{1}^{\prime }=-{\frac {z^{\prime }}{r^{\prime 3}}},\\\\r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}.\end{cases}}$

Mais on a, d’après le § 1 :

${\begin{array}{l}x^{\prime }=k(x+\epsilon t),\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }=k(t+\epsilon x),\\\\{\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}=k(1+\xi \epsilon )=k\left(1-\epsilon ^{2}\right)={\frac {1}{k}},\quad \sum X_{1}\xi =-X_{1}\epsilon ,\\\end{array}}$