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est nulle, on a

(24)$\quad \mathrm {V} _{t}={\frac {x}{\varpi }}ft-{\frac {1}{\varpi }}\int _{0}^{\text{T}}dtf't{\bigg (}e^{-(\mathrm {T} -t)}\sin .x{\bigg .}$

$\left.-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(\mathrm {T} -t)}\sin .2x+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(\mathrm {T} -t)}\sin .3x\right),$

Le second membre représente l’état du solide après le temps total $\mathrm {T} ,$ les températures initiales étant supposées nulles, l’extrémité $o$ étant retenue à la température zéro, et l’extrémité ☎ étant assujétie à la température variable $ft$ dont la première valeur $f0$ est nulle. Si cette première valeur $f0$ n’est pas nulle, il faut ajouter au résultat l’effet produit par la température $f0$ pendant le temps total $\mathrm {T} ,$ c’est-à-dire la quantité

${\frac {x}{\varpi }}f0-{\frac {2}{\varpi }}\left(f0e^{-\mathrm {T} }\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}\mathrm {T} }\sin .2x+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}\mathrm {T} }\sin .3x-{\text{etc}}.\right),$

donc la valeur complète de $\mathrm {V_{T}}$ est ainsi exprimée

${\begin{aligned}\mathrm {V_{T}} ={\frac {x}{\varpi }}&\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf't\right)-{\frac {2}{\varpi }}e^{-{\text{T}}}\sin .x\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf't\right)\\&\qquad -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}{\text{T}}}\sin .2x\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf'te^{2^{2}t}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}{\text{T}}}\sin .3x\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf'te^{3^{2}t}\right)-{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Le premier terme $f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf't$ est la valeur de $ft,$ et si l’on fait $\mathrm {T} =0$ dans l’expression de $\mathrm {V} _{t},$ on trouve pour les températures initiales du système