terme de la série, et comme on doit prendre la somme des exposants de
dans les deux termes combinés, on trouve que la seconde partie de la valeur de
est
![{\displaystyle b_{1}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{1}+t_{2})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .2x\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde3ba1ba77ada31231de1425e82570b591822dc)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .3x-{\text{etc}}.\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961aaa352fee395619aef55ea44172759146d35f)
on forme ainsi l’expression complète de la température du solide après le temps ![{\displaystyle t_{1}+t_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e17521768b80eb5eaf41a3b56047b42f8b7002f)
![{\displaystyle \mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}=b_{2}-{\frac {2b_{2}}{\varpi }}\left(e^{-t_{2}}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{2}}\sin .(2x)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569d1222168dffbbaa4ddc780e21d7243dc5d649)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{2}}\sin .(3x)-{\text{etc}}.\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80516766392da1ddead7ef8ff3c4729c0ed0c098)
![{\displaystyle +b_{1}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{1}+t_{2})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .(2x)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d059e109e5d63a311ddebe98403b5111383294b)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .(3x)-{\text{etc}}.\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d823a3c76eff07d475f231b4bd5b3f488e1b7e)
et l’on voit que la seconde partie représente d’après l’équation (14) l’état où le système des températures se trouverait si les valeurs initiales de ces températures étant supposées nulles, on assujétissait pendant le temps total
les deux extrémités
et
du prisme à des températures fixes savoir, zéro pour l’une au point
et pour l’autre
au point ![{\displaystyle \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f6611303e54eefbedd289cd48ca2ed16af127)
Il faut maintenant considérer cette valeur de
comme exprimant un état initial et assujétir l’extrémité
pendant une nouvelle partie
du temps à la température fixe
l’extrémité
étant toujours retenue à la température zéro. Dans l’équation générale (13) on fera
et
et l’on prendra pour
la valeur de
dans laquelle on écrira
au lieu de
On aura donc