est connue, et la quantité
est connue aussi ; la première est
et la seconde est
Nous rappellerons plus bas la démonstration de ces deux propositions. Il s’ensuit que dans l’expression de
les termes
et
sont détruits par des termes suivants, et que les deux valeurs de
et
sont identiques : donc l’expression de
donnée par la formule (1), satisfait à l’équation différentielle du mouvement de la chaleur.
De plus, il est facile de reconnaître que l’état initial est représenté par cette valeur de
en effet, si dans l’équation (1) on pose
on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}(4)\qquad \mathrm {V} _{t}=&{\frac {x}{\varpi }}f0+{\frac {2}{\varpi }}f0\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}\cos .(i\varpi )\\&+{\frac {\varpi -x}{\varpi }}\varphi 0-{\frac {2}{\varpi }}\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}\\&+{\frac {2}{\varpi }}\sum (\sin .ix)\int _{0}^{\varpi }dr\psi r\sin .(ir)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9524f95de01c9933334bc5b21c3cf9d509ed416)
or de ces trois parties de la valeur de
la première et la seconde sont nulles comme on le montrera plus bas, et la troisième donne la valeur de ![{\displaystyle \psi x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fb1e15f2a8fbc52203ccb854ecfb6a21dac8d9)
Je ne rappellerai point les différentes démonstrations que l’on peut donner de cette dernière proposition ; je me borne à en exprimer le véritable sens. Il faut concevoir que pour former l’intégrale
on donne d’abord à
une seule valeur
prise parmi les nombres entiers