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$\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}\cos .(i\varpi )$ est connue, et la quantité $\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}$ est connue aussi ; la première est $-{\frac {1}{2}}x,$ et la seconde est ${\frac {1}{2}}(\varpi -x).$ Nous rappellerons plus bas la démonstration de ces deux propositions. Il s’ensuit que dans l’expression de ${\frac {d\mathrm {V} _{t}}{dt}}$ les termes ${\frac {2}{\varpi }}f't$ et ${\frac {\varpi '-x}{\varpi }}\varphi 't$ sont détruits par des termes suivants, et que les deux valeurs de ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ et ${\frac {dv}{dt}}$ sont identiques : donc l’expression de $\mathrm {V} _{t}$ donnée par la formule (1), satisfait à l’équation différentielle du mouvement de la chaleur.

De plus, il est facile de reconnaître que l’état initial est représenté par cette valeur de $\mathrm {V} _{t}\,;$ en effet, si dans l’équation (1) on pose $t=0,$ on trouve

${\begin{aligned}(4)\qquad \mathrm {V} _{t}=&{\frac {x}{\varpi }}f0+{\frac {2}{\varpi }}f0\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}\cos .(i\varpi )\\&+{\frac {\varpi -x}{\varpi }}\varphi 0-{\frac {2}{\varpi }}\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}\\&+{\frac {2}{\varpi }}\sum (\sin .ix)\int _{0}^{\varpi }dr\psi r\sin .(ir)\,;\end{aligned}}$

or de ces trois parties de la valeur de $\mathrm {V} _{0},$ la première et la seconde sont nulles comme on le montrera plus bas, et la troisième donne la valeur de $\psi x.$

Je ne rappellerai point les différentes démonstrations que l’on peut donner de cette dernière proposition ; je me borne à en exprimer le véritable sens. Il faut concevoir que pour former l’intégrale $\int _{0}^{\varpi }dr\psi r\sin .(ir),$ on donne d’abord à $i$ une seule valeur $j$ prise parmi les nombres entiers $1,\,2,$