de la température variable qui satisfasse à l’équation différentielle du mouvement de la chaleur et à toutes les conditions relatives aux extrémités, et qui pour un temps donné coïncide avec l’état du système, on est assuré que l’expression de
est l’intégrale cherchée. Il ne peut y avoir aucune autre intégrale réellement différente de celle-là, quel que puisse être d’ailleurs le nombre des fonctions arbitraires. Il suffira donc de prouver que la formule qui donne l’expression
satisfait à l’équation différentielle et aux conditions des extrémités, et que de plus en donnant au temps sa première valeur zéro, la température
représente le système
des températures initiales.
Or l’équation différentielle du mouvement linéaire de la chaleur est
et si l’on écrit
au lieu de
on a
Il faut donc considérer l’équation à différentielles partielles très-simple
On reconnaîtra, comme il suit, que l’expression de
satisfait à cette dernière équation. En effet, on conclut de l’équation (1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(2)\quad {\frac {d^{2}\mathrm {V} _{t}}{dx^{2}}}=&-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t}{\frac {1}{i}}\sin .(ix)\cos .(i\varpi )\left\{f0+\int _{0}^{t}drf're^{i^{2}r}\right\}\\&+{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t}i\sin .(ix)\left\{\varphi 0+\int _{0}^{t}dr\varphi 're^{i^{2}r}\right\}\\&-{\frac {2}{\varpi }}\sum i^{2}e^{-i^{2}t}\sin .(ix)\int _{0}^{t}dr\psi r\sin .(ir),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cf5febf5b3b2e2c94a79f9ce68008a0c461115)