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de la température variable qui satisfasse à l’équation différentielle du mouvement de la chaleur et à toutes les conditions relatives aux extrémités, et qui pour un temps donné coïncide avec l’état du système, on est assuré que l’expression de $v$ est l’intégrale cherchée. Il ne peut y avoir aucune autre intégrale réellement différente de celle-là, quel que puisse être d’ailleurs le nombre des fonctions arbitraires. Il suffira donc de prouver que la formule qui donne l’expression $\mathrm {V} _{t}$ satisfait à l’équation différentielle et aux conditions des extrémités, et que de plus en donnant au temps sa première valeur zéro, la température $\mathrm {V} _{0}$ représente le système $\psi x$ des températures initiales.

Or l’équation différentielle du mouvement linéaire de la chaleur est ${\frac {dv}{dt}}={\frac {k}{\mathrm {C.D} }}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},$ et si l’on écrit ${\frac {kt}{\mathrm {C.D} }}$ au lieu de $t,$ on a ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}.$ Il faut donc considérer l’équation à différentielles partielles très-simple ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}.$ On reconnaîtra, comme il suit, que l’expression de $\mathrm {V} _{t}$ satisfait à cette dernière équation. En effet, on conclut de l’équation (1)

${\begin{aligned}(2)\quad {\frac {d^{2}\mathrm {V} _{t}}{dx^{2}}}=&-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t}{\frac {1}{i}}\sin .(ix)\cos .(i\varpi )\left\{f0+\int _{0}^{t}drf're^{i^{2}r}\right\}\\&+{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t}i\sin .(ix)\left\{\varphi 0+\int _{0}^{t}dr\varphi 're^{i^{2}r}\right\}\\&-{\frac {2}{\varpi }}\sum i^{2}e^{-i^{2}t}\sin .(ix)\int _{0}^{t}dr\psi r\sin .(ir),\end{aligned}}$