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dant le temps $t$ le point $o$ à la température constante zéro, et le point $\varpi$ à la température variable $ft.$

La seconde partie de la formule représente l’état où se trouverait le même solide après le temps écoulé $t,$ si les températures initiales des mêmes points intermédiaires dont la distance à l’origine $o$ surpasse zéro et est moindre que $\varpi$ étant supposées nulles, on assujétissait pendant le temps $t$ le point $o$ à la température variable $\varphi t,$ et le point $\varpi$ à la température fixe zéro.

Enfin la troisième partie de la formule (1) représente l’état où se trouverait le solide après le temps écoulé $t,$ si le système des températures initiales étant exprimé par une fonction quelconque $\psi x$ de la distance $x,$ on assujétissait le solide à chacune de ses deux extrémités à la température fixe zéro.

Quant à la valeur. complète $\mathrm {V} _{t},$ elle fait connaître quel sera après le temps écoulé $t$ l’état du prisme, si les températures initiales étant exprimées par $\psi x,$ les deux extrémités sont assujéties à des températures variables, savoir : l’une $ft$ au point $o$ et l’autre $\varphi t$ au point $\varpi .$

(3).

Première démonstration. La formule satisfait à l’équation différentielle, aux conditions des extrémités, et à l’état initial.

Sans développer dans ces premiers articles la suite des raisonnements qui m’ont conduit à la solution, j’en démontrerai d’abord la vérité en la fondant sur un principe général qui est évident, et dont voici l’énoncé. Si l’on forme une valeur $v$