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l’une et l’autre sans difficulté aux fonctions de plusieurs variables.

3^o L’expression en série :

$f(0,\psi )=\mathrm {Y+Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+etc} .,\qquad$(3)

dont le terme général est

$\mathrm {Y} _{n}={\frac {2n+1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }f(\theta ',\psi ')\mathrm {\mathrm {P} } _{n}\sin .\theta 'd\theta 'd\psi ',$

$\mathrm {P} _{n}$ étant le coefficient de $x^{n}$ dans le développement de

$\left(1-2xp+x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$

et $p$ ayant pour valeur :

$p=\cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\psi -\psi ').$

Les angles $\theta$ et $\psi$ sont compris entre $\theta =0$ et $\theta =\pi ,$ $\psi =0$ et $\psi =2\pi \,;$ et cette troisième formule a pour objet de développer une fonction quelconque de ces deux variables, en une série de quantités d’une forme particulière que M. Legendre a introduites le premier dans l’analyse et qui jouissent de propriétés très-importantes. Une fonction donnée n’est susceptible que d’un seul développement de cette nature, et la série qui l’exprime finit toujours par être convergente, ainsi que je l’ai prouvé dernièrement^[1]. On fait usage de ce développement dans les différentes questions relatives aux sphéroïdes, où il s’agit de leur attraction, de leur mouve-

1. Additions à la Connaissance des temps pour l’année 1831.