Les conditions relatives au contour seront les mêmes que dans le cas de l’équilibre, et exprimées par les équations (2), (3) ou (4), selon que les bords seront libres, appuyés de manière qu’il ne puissent pas glisser normalement à la plaque, ou tout-à-fait encastrés. Elles auront lieu pour
étant toujours le rayon de la plaque, et pour toutes les valeurs de
Nous allons examiner ces trois cas successivement.
(79) Pour satisfaire, quel que soit
à la condition
pour
il faudra prendre
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {H} \int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right)d\omega ,\quad \mathrm {B} =-2\mathrm {H} \int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )d\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109b75b46c47c80d50ce8b8ef14f1347fca55c7f)
étant un coefficient inconnu. En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {R} =\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right)d\omega .\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b7f2b96f6d88e726069bfc961ca8ce9e084b62)
![{\displaystyle -\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega ).\int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca69d3af76a2278119d425fab535f7904f0f317)
la formule (8) deviendra
![{\displaystyle z=\sum \mathrm {HR} \cos .m^{2}at\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b5e2268101427d4034588c87a627262df1d82a)
(9)
et elle conviendra aux deux cas de la plaque encastrée et de la plaque dont le contour est simplement appuyé.
Dans le premier cas, la condition
ou la seconde équation (4), exigera qu’on ait
pour
ce qui donne