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Les conditions relatives au contour seront les mêmes que dans le cas de l’équilibre, et exprimées par les équations (2), (3) ou (4), selon que les bords seront libres, appuyés de manière qu’il ne puissent pas glisser normalement à la plaque, ou tout-à-fait encastrés. Elles auront lieu pour $r=l,$ $l$ étant toujours le rayon de la plaque, et pour toutes les valeurs de $t.$ Nous allons examiner ces trois cas successivement.

(79) Pour satisfaire, quel que soit $t,$ à la condition $z=0$ pour $r=l,$ il faudra prendre

$\mathrm {A} =\mathrm {H} \int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right)d\omega ,\quad \mathrm {B} =-2\mathrm {H} \int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )d\omega \,;$

$\mathrm {H}$ étant un coefficient inconnu. En faisant, pour abréger,

$\mathrm {R} =\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right)d\omega .\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega$

$-\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega ).\int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega ,$

la formule (8) deviendra

$z=\sum \mathrm {HR} \cos .m^{2}at\,;\qquad$(9)

et elle conviendra aux deux cas de la plaque encastrée et de la plaque dont le contour est simplement appuyé.

Dans le premier cas, la condition ${\frac {dz}{dr}}=0,$ ou la seconde équation (4), exigera qu’on ait ${\frac {d\mathrm {R} }{dr}}=0$ pour $r=l,$ ce qui donne