![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin .(\mu r\cos .\omega )d\omega =0,\quad \int _{0}^{\pi }\sin .(\mu r\cos .\omega )\log .(r\sin .^{2}\omega )d\omega =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbd149a2dbc7c4f6505f8747e46e2a626fa960c)
la valeur de
conclue de celles de
et
sera alors :
![{\displaystyle z=\sum \left[\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(\mu r\cos .\omega )d\omega \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43454f7beb9c0bf1a469f7c1dc392b8c2e32005)
![{\displaystyle \left.+\mathrm {A} '\int _{0}^{\pi }\cos .(\mu r\cos .\omega )\log .(r\sin .^{2}\omega )d\omega \right]\cos .\mu ^{2}at\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81de9abc66f33d76023796422535a2fcb30be86e)
et
étant ainsi que
des quantités indépendantes de
et
auxquelles se rapporte la somme
Je désigne par
une autre constante ; j’écris successivement
et
à la place de
dans le cas de
je conserve les coefficients
et
dans le cas de
je les remplace par
et
il vient
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}z=&\sum \left[\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} \int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega \right.\\&+\mathrm {A} '\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \\&+\left.{\frac {1}{2}}\mathrm {B} '\int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \right]\cos .m^{2}at\,;\end{aligned}}\right\}(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a04ce644757bf54c8f0c00dbb3c76bacc133ca)
et c’est sous cette forme que nous emploierons la valeur de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
L’expression de
qui s’en déduit peut être simplifiée en considérant les équations différentielles :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {du}{dr}}=-m^{2}u,\qquad {\frac {d^{2}u'}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {du'}{dr}}=m^{2}u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b9ab60b5f07dc398ebd3f2e0acfed9e8ad4c64)
dont les intégrales complètes sont[1] :
- ↑ Journal de l’École polytechnique, 19e cahier, page 475.