étant la constante arbitraire. En intégrant par partie, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right)r\log .{\frac {r}{l}}dr&=-{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-2\log .{\frac {r}{l}}\right)\int \mathrm {R} rdr\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{4}}\int \mathrm {R} r^{3}\left(1-2\log .{\frac {r}{l}}\right)dr,\\\int \left(\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right)rdr&={\frac {r^{2}}{2}}\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr-{\frac {1}{2}}\int \mathrm {R} r^{3}\log .{\frac {r}{l}}dr.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b69ccc2efaab37140029d7bd45f8c22109be68)
Nous supposerons que ces intégrales simples s’évanouissent avec
et la quantité
ne devant être infinie pour aucune valeur de
nous ferons
pour que le terme
disparaisse de son expression qui sera alors :
![{\displaystyle {\frac {dz}{dr}}={\frac {cr}{2}}+k'\left[{\frac {pr^{3}}{16\pi l^{2}}}-{\frac {r}{4}}\left(1-2\log .{\frac {r}{l}}\right)\int \mathrm {R} rdr\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bfefde29f7d2ffb97bd1899aecf63b6108a993)
![{\displaystyle \left.-{\frac {r}{2}}\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr+{\frac {1}{4r}}\int \mathrm {R} r^{3}dr\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476b9202fddbe03a75d84142d0b40c3cf155f6bd)
Je fais
dans cette valeur et dans celle de
qui s’en déduit, puis je les substitue dans la seconde équation (2) ou (3), ce qui donne
![{\displaystyle c=-k'\left[{\frac {13p}{40\pi }}+{\frac {3\varpi }{20\pi }}-\int _{0}^{l}\mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr-{\frac {3}{10l^{2}}}\int \mathrm {R} r^{3}dr\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3512abf9d4f9c6c9005113ac711c785fc843258a)
pour la valeur de
qui aura lieu dans les deux cas de la plaque entièrement libre et de la plaque appuyée par son contour. Dans le troisième cas, de la plaque dont les bords sont encastrés, on conclura de l’expression de
et de la seconde équation (4) :
![{\displaystyle c=-k'\left[{\frac {p}{8\pi }}-{\frac {\varpi }{4\pi }}-\int _{0}^{l}\mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{l}\mathrm {R} r^{3}dr\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1de07f39d30dae9b486c0917a49c9657fda6ba)