On pourra supposer que ces intégrales simples s’évanouissent avec
et remplacer , si l’on veut
par
Mais la quantité
qui représente
ne devant devenir très-grande, ni, à plus forte raison, infinie en aucun point de la plaque, il faudra en faire disparaître le terme
par conséquent on aura
et la formule précédente deviendra
![{\displaystyle \varphi =c+k'\left({\frac {pr^{2}}{4\pi l^{2}}}+\log .{\frac {r}{l}}\int \mathrm {R} rdr-\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540bd3d03e532802e2219eb337b7de2989c82648)
les intégrales étant nulles pour
On en déduit
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dr}}=k'\left({\frac {pr}{2\pi l^{2}}}+{\frac {1}{r}}\int \mathrm {R} rdr\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab24eb2706efe0e135040146c461df552ce5bab)
si donc on fait
![{\displaystyle 2\pi \int _{0}^{l}\mathrm {R} rdr=\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052fa833120c18ace51a30ff99903e65e5c3b0bf)
cette quantité
sera la pression totale, exercée sur la plaque, et la première équation (2) se réduira à
ce qui doit avoir lieu, en effet, pour l’équilibre de la plaque entièrement libre. Dans le cas de la plaque encastrée ou appuyée, la valeur précédente de
sera
résultat qui est encore évident à priori.
Je remets pour
la quantité
et j’intègre de nouveau ; il vient
![{\displaystyle {\frac {dz}{dr}}={\frac {b}{r}}+{\frac {cr}{2}}+k'\left[{\frac {pr^{3}}{16\pi l^{2}}}+{\frac {1}{r}}\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right)r\log .{\frac {r}{l}}dr\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08f1bb4772dbf9b6fed23793c09d4cc6b3903d1)
![{\displaystyle \left.-{\frac {1}{r}}\int \left(\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right)rdr\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92d26e5491ea05d78218d494b3f252925c9a7cf)