qui ne subsisteront que pour
Si les bords de la plaque sont appuyés et ne peuvent ni monter ni descendre verticalement, on aura
![{\displaystyle z=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{4r}}{\frac {dz}{dr}}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b3297c600fc415e81b5b962ab7362b35a49511)
(3)
aussi pour
Enfin si les bords sont encastrés, l’hypothèse de
fonction de
rendra identique la troisième équation (14), et nous aurons
![{\displaystyle z=0,\qquad {\frac {dz}{dr}}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3ca636670aede7c34aeef3a5a63ebc2535e9ad)
(4)
pour la même valeur de
Dans ces deux derniers cas, la pression verticale, en chaque point du contour, sera la force
du no 72 ; elle aura pour valeur :
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {16k\varepsilon ^{3}}{9}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {x}{y}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {y}{r}}\right)={\frac {1}{k'}}{\frac {d\varphi }{dr}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d54bd23354961b29d7498d863c882b34046be5)
dans laquelle on fera
et si l’on appelle
la pression totale sur le contour entier dont la longueur est
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {2\pi l}{k'}}{\frac {d\varphi }{dr}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9697bfd13cba2862f392679b3f18a9666b69288)
(76) En désignant par
et
les deux constantes arbitraires, l’intégrale complète de l’équation (1) est
![{\displaystyle \varphi =c+c'\log .r+k'\left[{\frac {pr^{2}}{4\pi l^{2}}}+\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right){\frac {dr}{r}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608bd8e30e508fbfa3b46041923cae00962a654b)
L’intégration par partie donne
![{\displaystyle \int \left(\int \mathrm {R} rdr\right){\frac {dr}{r}}=\log .r\int \mathrm {R} rdr-\int \mathrm {R} r\log .rdr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505aada88c94a25a0bb81c54aed9cdc01d667c98)