la force
à la face même de la plaque, on suppose tous ses points sollicités par des forces constantes dans le sens de l’épaisseur, et représentées en intensité par
Nous ferons donc, dans l’équation (9) du no 70,
![{\displaystyle \mathrm {Z} '=\mathrm {Z} =g+{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }},\qquad \mathrm {Y} '=-{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }}{\frac {dz}{dy}},\qquad \mathrm {X} '=-{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }}{\frac {dz}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9abe38336732a806b97a99f34eb9c61b54b779)
en désignant par
la gravité, et l’axe des
positives étant dirigé dans le sens de cette force. D’après cela, cette équation deviendra
![{\displaystyle g+{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }}={\frac {8k\varepsilon ^{2}}{9\rho }}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4619eaf43dabf07fe71adf219f830a3731e8d5)
où l’on a fait, pour simplifier,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bb17defa82b9f32f79e3c0ceecaf4c1ab8d354)
La même équation aurait lieu, si la plaque était tirée par des poids suspendus à sa face inférieure, et représentés à la distance
de son centre, par
pour chaque unité de surface.
Tout étant semblable autour du centre de la plaque, l’ordonnée
d’un point quelconque de la section moyenne sera une fonction de
en exprimant d’après cela les différences partielles de
relatives à
et
on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dr}}{\frac {x}{r}},\qquad {\frac {dz}{dy}}={\frac {dz}{dr}}{\frac {y}{r}},\\&{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {dz}{dr}}{\frac {y^{2}}{r^{3}}},\qquad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}+{\frac {dz}{dr}}{\frac {x^{2}}{r^{3}}},\\&{\frac {d^{2}z}{dxdy}}={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}{\frac {xy}{r^{2}}}-{\frac {dz}{dr}}{\frac {xy}{r^{3}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0311df04cfc5f634b7b47b97ab643ce6953537)
d’où l’on conclut