![{\displaystyle {\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)dxdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b261dbd825046f09da2214c72516d0ba39c9737f)
on pourra ensuite effectuer immédiatement une intégration dans chaque intégrale double du second membre ; d’où il résultera, comme précédemment, une intégrale simple, étendue au contour entier de la section moyenne, en sorte que l’on aura
![{\displaystyle \iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)xdxdy+{\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85dc549b361137e5c28e01d4735430dccc43c5a7)
![{\displaystyle ={\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\int \left[\left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)\cos .\theta \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22651b02dc00fcd464bc263b491dae7ddf542f2)
![{\displaystyle +\left.\left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dy^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dydx^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}\right)\sin .\theta \right]xds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401f7643994103c661360c2a71854300f2a7707d)
En vertu de la première équation (13), celle-ci est la même chose que
![{\displaystyle \iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)xdxdy+\int x\mathrm {F} ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c3097346a5cb4b4cb4dbdbf161e7e89fc36678)
![{\displaystyle +{\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)dxdy=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca92a923452f08bd7f0dd6058f7c51dcc8fe724)
En effectuant l’intégration relative à
on a
![{\displaystyle \iint \left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)dxdy=\int \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right)\cos .\theta ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5be325d90347ee0e444222a882c2965bddc031)
l’intégrale simple s’étendant, comme plus haut, au contour entier de la section ; mais la seconde équation (13) donne
![{\displaystyle {\frac {16k\varepsilon ^{3}}{9}}\int \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right)\cos .\theta ds=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9875b86c988ea3dc063f42975843a7a7aab15df1)
![{\displaystyle \int \mathrm {H} ds-{\frac {4k\varepsilon ^{3}}{3}}\int \left({\frac {d^{2}z}{dxdy}}\sin .\theta -{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\cos .\theta \right)ds\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df3f0b73dca54c8b03f65e9450c2ed66865d3be)