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sidérant ces variables comme des fonctions de $s,$ données par l’équation du contour, on a

${\frac {dz}{dx}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dz}{dy}}{\frac {dy}{ds}}=0\,;$

ce qui fait disparaître dans la précédente la partie indépendante de $\varepsilon ,$ et la réduit aux termes multipliés par $\varepsilon ^{2},$ qu’il a fallu conserver pour cette raison. De cette manière, les trois équations relatives à une partie encastrée des bords de la plaque, seront

$\left.{\begin{aligned}&\qquad \qquad z=0,\\&\qquad \qquad {\frac {dz}{dx}}{\frac {dy}{ds}}-{\frac {dz}{dy}}{\frac {dx}{ds}}=0\,;\\&{\frac {\rho }{k}}\left({\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}{\frac {dy}{ds}}\right)-{\frac {8}{3}}{\frac {d.\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right)}{ds}}=0,\end{aligned}}\right\}$(14)

en supprimant dans la troisième, le facteur ${\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2},$ commun à tous les termes.

Ces formules relatives aux différentes parties du contour de la section moyenne, conviennent aux deux cas de l’équilibre et du mouvement. Mais dans le cas du mouvement, et en supposant toujours qu’aucune force donnée n’agit sur les points de la plaque, il faudra prendre comme plus haut (n° 70) :

${\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}={\frac {d^{3}z}{dxdt^{2}}},\qquad {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}={\frac {d^{3}z}{dydt^{2}}}\,;$

en observant donc qu’on a $a^{2}\rho ={\frac {8k\varepsilon ^{2}}{9}},$ et ayant égard à l’équation (10), on voit que les termes $\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}$ et $\rho {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}$ de la première équation (13) et de la dernière équation (14) se-