moyenne, aucune des trois équations (13) ne subsistera ; mais outre la condition
il faudra que les déplacements
et
soient aussi nuls dans toute l’épaisseur de la plaque ; ce qui exigera qu’on ait, en vertu des formules (2) :
![{\displaystyle {\frac {du'}{d\zeta }}=0,\qquad {\frac {dv'}{d\zeta }}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0dd9c23fd80a951e3f52561b543bc5dec4eb13)
équations dans lesquelles on emploiera les valeurs de
et
du numéro précédent. Dans les applications qu’on en fera, il sera plus commode de les remplacer par celles-ci :
![{\displaystyle {\frac {du'}{d\zeta }}{\frac {dy}{ds}}-{\frac {dv'}{d\zeta }}{\frac {dx}{ds}}=0,\qquad {\frac {du'}{d\zeta }}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dv'}{d\zeta }}{\frac {dy}{ds}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d580dd10c9414052ceba89ca0f3736491d96289c)
qui leur sont équivalentes, et où l’on a représenté par
l’élément différentiel du contour. On pourra négliger, dans la première, les termes multipliés par
qui sont très-petits par rapport aux termes indépendants de l’épaisseur, ce qui la réduira à
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}{\frac {dy}{ds}}-{\frac {dz}{dy}}{\frac {dx}{ds}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ef33b0dcd42025b17de599de5360ac827a858d)
Il n’en sera pas de même à l’égard de la seconde équation, laquelle devient
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dz}{dy}}{\frac {dy}{ds}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\left[{\frac {\rho }{k}}\left({\frac {dX'}{d\zeta }}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dY'}{d\zeta }}{\frac {dy}{ds}}\right)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6adf2487a1c6a940a57c5d086cd29fde497e35)
![{\displaystyle \left.-{\frac {8}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right){\frac {dx}{ds}}-{\frac {8}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dy^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dydx^{2}}}\right){\frac {dy}{ds}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317bcbf02d8c3aa2fd67957754eb052cc8d96c33)
après la substitution des valeurs de
et
Or, si l’on différentie l’équation
par rapport à
et
en y con-