c’est-à-dire,
![{\displaystyle \mu ={\frac {2\varepsilon ^{5}}{3}}\left({\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\zeta }}\sin .\theta +{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\zeta }}\cos .\theta \right),\ \ \mu '={\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\left({\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\zeta }}\sin .\theta +{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\zeta }}\cos .\theta \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baafbbe91426b0759032cf9cd13703f7516737c3)
ou bien, en ayant égard aux équations (8),
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\mu \;&={\frac {4k\varepsilon ^{2}}{9}}\left[3{\frac {d^{2}z}{dxdy}}\sin .\theta +\left(4{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right)\cos .\theta \right],\\\mu '&={\frac {4k\varepsilon ^{2}}{9}}\left[3{\frac {d^{2}z}{dxdy}}\cos .\theta +\left(4{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\right)\sin .\theta \right].\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162ff3836fc9918db3b98ad8853bdbbabfb50a2c)
(11)
Développons de même les quantités
et
suivant les puissances de
éliminons les coefficients des deux premiers termes de chaque série au moyen des équations (4) ; négligeons ensuite les quantités du troisième ordre par rapport à
et
la valeur précédente de
sera
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left(\zeta ^{2}-\varepsilon ^{2}\right)\left({\frac {d^{2}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\sin .\theta +{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\cos .\theta \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a656c7b7d93c7f1d5545d15c88a279792c70464d)
Appelons
la résultante des forces
dans toute l’épaisseur de la plaque, en sorte qu’on ait
![{\displaystyle \mathrm {V} =\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {R} d\zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bac4e005c29abbad47cf02bb73f48370feca2f)
l’intégration effectuée, on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} =-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\sin .\theta +{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\cos .\theta \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02db8a0975e81131b3a7cb916e1e407acd2ee135)
Pour la valeur particulière
les deux premières équations (3) donnent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}&=\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta dy}}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{3}}{d\zeta dx}}&&=\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}}}&=\rho {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta dx}}-{\frac {d^{2}\mathrm {Q} _{2}}{d\zeta dy}}&&=\rho {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}-{\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dy^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dydx^{2}}}\right),\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e70ec3706c8af2172fab1adbc5261d30b7a6ca3)