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appartiendra à leurs diagonales qui seront aussi des lignes nodales ; et lorsque $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront inégaux, les lignes nodales résultantes du premier facteur seront des lignes courbes dont la forme dépendra du rapport de ces deux coefficients constants. Pour tous ces systèmes différents de lignes nodales, qui peuvent être en nombre infini, le son de la membrane sera le même, et la durée de chaque vibration égale à ${\frac {2\pi }{\gamma '}}.$

(63) Appliquons maintenant l’équation $(a)$ au cas d’une membrane circulaire. Plaçons l’origine des coordonnées à son centre ; désignons par $r$ la distance du point quelconque $\mathrm {M}$ à cette origine ; et supposons que l’ordonnée $z$ de $\mathrm {M}$ à un instant quelconque, soit une fonction de $r$ et $t,$ ce qui revient à dire que tous les points également éloignés du centre ont à chaque instant la même ordonnée et par suite la même vitesse. Pour que cette condition soit remplie pendant toute la durée du mouvement, il suffit évidemment qu’elle ait eu lieu à son origine, ou qu’à cette époque, les valeurs de $z$ et ${\frac {dz}{dt}}$ soient des fonctions données de la seule variable $r.$

Dans cette hypothèse, l’équation $(a)$ se transformera en celle-ci :

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c^{2}\left({\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dz}{dr}}\right).$

Son intégrale complète, telle que je l’ai trouvée dans le Mémoire déjà cité (n^o 56), est

$z=\int _{0}^{\pi }f(ct+r\cos .\omega )d\omega +\int _{0}^{\pi }\operatorname {F} (ct+r\cos .\omega )\log .\left(r\cos .^{2}\omega \right)d\omega ,$

$f$ et $\operatorname {F}$ étant les deux fonctions arbitraires. Le second terme