Il ne restera donc dans le premier membre de l’équation
que les termes qui répondent à
et
et en les comparant à ceux du second membre, on en conclura
![{\displaystyle \mathrm {H} \int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {U} ^{2}dxdy=\mathrm {A} ,\qquad \mathrm {H} '\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {U} ^{2}dxdy=\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a8c464b7ff056f84d52e7e21d1e450096b2b06)
En effectuant l’intégration, on a
![{\displaystyle \int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {U} ^{2}dxdy={\frac {l'l}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106518437b617d9166a6c11e8caf7f769b9cc6dc)
d’après les valeurs précédentes de
et
dans lesquelles on mettra
et
à la place de
et
on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \;&={\frac {4}{\gamma ll'}}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\operatorname {F} (x,y)\sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n'\pi y}{l'}}dxdy,\\\mathrm {H} '&={\frac {4}{ll'}}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}f(x,y)\sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n'\pi y}{l'}}dxdy\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8891f23b4a48990fe6f31f91e2126f6ed065ddc3)
au moyen de quoi la formule
ne renfermera plus que des quantités données. Cette expression de
et la valeur de
qui s’en déduit, feront connaître l’état de la membrane à un instant quelconque , et seront, par conséquent, la solution complète du problème qu’il s’agissait de résoudre.
En faisant
dans l’équation
et mettant
et
au lieu de
et
sous les signes d’intégration, il en résulte cette formule connue :
![{\displaystyle f(x,y)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5c351426d97cb456b983c06521326de6cd88b0)
![{\displaystyle {\frac {4}{ll'}}\sum \left\{\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}f(x',y')\sin .{\frac {n\pi x'}{l}}\sin .{\frac {n\pi y'}{l'}}dx'dy'\right\}\sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n\pi y}{l'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2605f1ef97e9664986cadaec35ff7df58a061f95)