Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/770

$\gamma =\gamma '.$ Il ne restera donc dans le premier membre de l’équation $(d)$ que les termes qui répondent à $n=i$ et $n'i'\,;$ et en les comparant à ceux du second membre, on en conclura

$\mathrm {H} \int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {U} ^{2}dxdy=\mathrm {A} ,\qquad \mathrm {H} '\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {U} ^{2}dxdy=\mathrm {B} .$

En effectuant l’intégration, on a

$\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {U} ^{2}dxdy={\frac {l'l}{4}}\,;$

d’après les valeurs précédentes de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ dans lesquelles on mettra $n$ et $n'$ à la place de $i$ et $i',$ on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {H} \;&={\frac {4}{\gamma ll'}}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\operatorname {F} (x,y)\sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n'\pi y}{l'}}dxdy,\\\mathrm {H} '&={\frac {4}{ll'}}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}f(x,y)\sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n'\pi y}{l'}}dxdy\,;\end{aligned}}$

au moyen de quoi la formule $(c)$ ne renfermera plus que des quantités données. Cette expression de $z$ et la valeur de ${\frac {dz}{dt}}$ qui s’en déduit, feront connaître l’état de la membrane à un instant quelconque , et seront, par conséquent, la solution complète du problème qu’il s’agissait de résoudre.

En faisant $t=0$ dans l’équation $(c),$ et mettant $x'$ et $y'$ au lieu de $x$ et $y$ sous les signes d’intégration, il en résulte cette formule connue :

$f(x,y)=$

${\frac {4}{ll'}}\sum \left\{\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}f(x',y')\sin .{\frac {n\pi x'}{l}}\sin .{\frac {n\pi y'}{l'}}dx'dy'\right\}\sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n\pi y}{l'}},$