![{\displaystyle \mathrm {X} =-{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},\quad \mathrm {Y} =-{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bd8346c0f593fdb0a0561d51c5fed265fa406b)
d’où il résultera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&={\frac {k}{3\rho }}\left(3{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+5{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&={\frac {k}{3\rho }}\left(3{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+5{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f4e463708a8069eef13adf482d8334748d5e10)
Pour appliquer ces équations à un exemple, prenons une membrane circulaire ; supposons qu’on lui fasse d’abord éprouver une tension constante, comme dans le numéro précédent ; et qu’après avoir fixé son contour, on la fasse vibrer de manière que tous ses points se meuvent suivant leurs rayons respectifs, et qu’à chaque instant leurs déplacements soient les mêmes à égales distances du centre. Ce mouvement est évidemment possible, quoiqu’il paraisse difficile de le produire. Plaçons l’origine des coordonnées
et
au centre de la membrane ; soit
la distance primitive du point
au centre ; au bout du temps
appelons
son déplacement suivant le prolongement de ce rayon
ses déplacements
et
parallèles aux axes des
et
seront
![{\displaystyle u={\frac {x\varphi }{r}},\qquad v={\frac {y\varphi }{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d7b295632625723dfe3baf0e925b54e341c0e0)
et dans notre hypothèse sera une fonction inconnue de
et
En formant d’après cela les différences partielles de
et
et les substituant dans les équations précédentes, on verra qu’elles se réduisent à une seule, savoir :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}}-{\frac {1}{r^{2}}}\varphi \right),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3740b866322db2f4690aa2cbfd1ebfd303daaaa0)
(9)