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$\mathrm {X} =-{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},\quad \mathrm {Y} =-{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,;$

d’où il résultera

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&={\frac {k}{3\rho }}\left(3{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+5{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&={\frac {k}{3\rho }}\left(3{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+5{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Pour appliquer ces équations à un exemple, prenons une membrane circulaire ; supposons qu’on lui fasse d’abord éprouver une tension constante, comme dans le numéro précédent ; et qu’après avoir fixé son contour, on la fasse vibrer de manière que tous ses points se meuvent suivant leurs rayons respectifs, et qu’à chaque instant leurs déplacements soient les mêmes à égales distances du centre. Ce mouvement est évidemment possible, quoiqu’il paraisse difficile de le produire. Plaçons l’origine des coordonnées $x$ et $y$ au centre de la membrane ; soit $r$ la distance primitive du point $\mathrm {M}$ au centre ; au bout du temps $t,$ appelons $\varphi$ son déplacement suivant le prolongement de ce rayon $r\,;$ ses déplacements $u$ et $v$ parallèles aux axes des $x$ et $y,$ seront

$u={\frac {x\varphi }{r}},\qquad v={\frac {y\varphi }{r}}\,;$

et dans notre hypothèse sera une fonction inconnue de $r$ et $t.$ En formant d’après cela les différences partielles de $u$ et $v,$ et les substituant dans les équations précédentes, on verra qu’elles se réduisent à une seule, savoir :

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}}-{\frac {1}{r^{2}}}\varphi \right),\qquad$(9)