on tire de là :
![{\displaystyle \delta ={\frac {(u'-u)x'+(v'-v)y'}{r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c8fab5f244396330756e5456e2678083c3a844)
si l’on néglige de même les carrés et le produit de
et
on a
![{\displaystyle u'-u={\frac {du}{dx}}x'+{\frac {du}{dy}}y',\qquad v'-v={\frac {dv}{dx}}x'+{\frac {dv}{dy}}y'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4976ebe77b7a44a6b42b6afc4bb0f407dde90e)
on aura donc
![{\displaystyle \delta ={\frac {du}{dx}}{\frac {x'^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right){\frac {x'y'}{r^{2}}}+{\frac {dv}{dy}}{\frac {y'^{2}}{r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4a621e3f3a1ba41381c5def0f2a2a02c261399)
Or, les conditions
et
donnent
![{\displaystyle {\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}=0,\qquad {\frac {du}{dx}}={\frac {dv}{dy}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6b6a3a35e6fbce879704a1cf24839914896a32)
ce qui réduit la formule précédente à
![{\displaystyle \delta ={\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac308f13cfb1a07f4ff9864eaa30aabe3bd07d3)
quantité qui ne dépend que des coordonnées
et
de
et nullement de la direction de
On voit réciproquement que dans tous les points où l’une des deux conditions que nous avons posées, ne sera pas remplie, la dilatation \delta ne sera pas la même en tous sens.
(55) Le cas le plus simple auquel on puisse appliquer les formules du no 53, est celui où l’on suppose les forces
et
nulles dans toute l’étendue de la membrane, ce qui réduit d’abord les l’équations (5) à celles-ci :
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}3{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}&+5{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=0,\\3{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}&+5{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245ae29acba17f151b15109804db39127b2750b8)
(7)