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pour l’une et l’autre des valeurs particulières $x=0$ et $x=l\,;$ et de plus on aura identiquement

${\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}}=m^{2}\mathrm {X} .\qquad (h)$

Les formules $(f)$ et $(g)$ répondent au cas où la verge est libre à ses deux bouts ; dans le cas où elle est encastrée à l’une de ses extrémités, on trouvera , en faisant usage des équations $(c)$ qui s’y rapportent, que la valeur de $y$ est encore exprimée par la formule $(f),$ les valeurs de $m$ étant données alors par l’équation :

$\left(e^{ml}+e^{-ml}\right)\cos .ml+2=0,\qquad (i)$

et la quantité $\mathrm {X}$ ayant pour expression :

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\left(e^{ml}+e^{-ml}+2\cos .ml\right)\left(\sin .mx-{\frac {1}{2}}e^{mx}+{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right)\\&+\left(2\sin .ml+e^{ml}-e^{-ml}\right)\left(\cos .mx-{\frac {1}{2}}e^{mx}-{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right),\end{aligned}}$

laquelle rend aussi l’équation $(h)$ identique, et satisfait aux quatre équations :

$\mathrm {X} =0,\qquad {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\qquad (k)$

savoir : aux deux premières pour $x=0,$ et aux deux dernières pour $x=l.$ Soit que la verge soit entièrement libre, ou qu’elle le soit seulement à une de ses extrémités, les coefficients $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} '$ se détermineront en fonctions de $m,$ d’après l’état initial, par une analyse semblable à celle du n^o 19.

(48) Remarquons d’abord que si $m$ est une racine de l’équation $(e)$ ou de l’équation $(i),$ il en sera de même à l’égard de