pour l’une et l’autre des valeurs particulières
et
et de plus on aura identiquement
![{\displaystyle {\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}}=m^{2}\mathrm {X} .\qquad (h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc79f48044a1cee0444deb97691d1ee29544a361)
Les formules
et
répondent au cas où la verge est libre à ses deux bouts ; dans le cas où elle est encastrée à l’une de ses extrémités, on trouvera , en faisant usage des équations
qui s’y rapportent, que la valeur de
est encore exprimée par la formule
les valeurs de
étant données alors par l’équation :
![{\displaystyle \left(e^{ml}+e^{-ml}\right)\cos .ml+2=0,\qquad (i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9b118d8c2f1e0dab063ce77985cca2f90ecfc7)
et la quantité
ayant pour expression :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &=\left(e^{ml}+e^{-ml}+2\cos .ml\right)\left(\sin .mx-{\frac {1}{2}}e^{mx}+{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right)\\&+\left(2\sin .ml+e^{ml}-e^{-ml}\right)\left(\cos .mx-{\frac {1}{2}}e^{mx}-{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1412ced64a78b179a2700c6242dc2bd66098552)
laquelle rend aussi l’équation
identique, et satisfait aux quatre équations :
![{\displaystyle \mathrm {X} =0,\qquad {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\qquad (k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe91c73382abea43a64b43b90390b2dacb0c45b0)
savoir : aux deux premières pour
et aux deux dernières pour
Soit que la verge soit entièrement libre, ou qu’elle le soit seulement à une de ses extrémités, les coefficients
et
se détermineront en fonctions de
d’après l’état initial, par une analyse semblable à celle du no 19.
(48) Remarquons d’abord que si
est une racine de l’équation
ou de l’équation
il en sera de même à l’égard de