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${\begin{aligned}\mathrm {B\;=A\;=E\;} &\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {B\;=A\;=E\;} &\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right),\\\mathrm {D\;=C\;=E'} &\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {D'=C'=E'} &\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)\,;\end{aligned}}$

et l’on aura, en outre, cette équation :

$4\sin .^{2}ml-\left(e^{ml}-e^{-ml}\right)^{2}+\left(2\cos .ml-e^{ml}-e^{-ml}\right)^{2}=0,$

ou bien, en réduisant,

$\left(e^{ml}+e^{-ml}\right)\cos .ml-2=0,\qquad (e)$

laquelle servira à déterminer les valeurs de $m.$

En faisant donc, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right)\left(\sin .mx+{\frac {1}{2}}e^{mx}-{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right)\\&+\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)\left(\cos .mx+{\frac {1}{2}}e^{mx}+{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right),\end{aligned}}$

la valeur précédente de $y$ deviendra

$y=\sum \mathrm {X} \left(\mathrm {E} \sin .m^{2}bt+\mathrm {E} '\cos .m^{2}bt\right)\,;\qquad (f)$

la somme $\sum$ s’étendant toujours à toutes les valeurs possibles de $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} ',$ mais seulement aux valeurs de $m$ données par l’équation $(e).$ Pour toutes ces valeurs, la fonction $\mathrm {X}$ satisfera aux deux équations :

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\qquad (g)$