![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B\;=A\;=E\;} &\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {B\;=A\;=E\;} &\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right),\\\mathrm {D\;=C\;=E'} &\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {D'=C'=E'} &\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caa667b6d84fd6219c325aa1d5807b499a62f56)
et l’on aura, en outre, cette équation :
![{\displaystyle 4\sin .^{2}ml-\left(e^{ml}-e^{-ml}\right)^{2}+\left(2\cos .ml-e^{ml}-e^{-ml}\right)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403f644645685893c2c10ba0e0b2049bfd5c5e58)
ou bien, en réduisant,
![{\displaystyle \left(e^{ml}+e^{-ml}\right)\cos .ml-2=0,\qquad (e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a574a2d9abd1e960232acc6d2e4ef1363a054807)
laquelle servira à déterminer les valeurs de ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
En faisant donc, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &=\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right)\left(\sin .mx+{\frac {1}{2}}e^{mx}-{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right)\\&+\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)\left(\cos .mx+{\frac {1}{2}}e^{mx}+{\frac {1}{2}}e^{-mx}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6f32eaca80be501905056a2ee4621509ac9a5e)
la valeur précédente de
deviendra
![{\displaystyle y=\sum \mathrm {X} \left(\mathrm {E} \sin .m^{2}bt+\mathrm {E} '\cos .m^{2}bt\right)\,;\qquad (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5115e4aee07d6d9cfbd0736381d04a92e4bd3ce6)
la somme
s’étendant toujours à toutes les valeurs possibles de
et
mais seulement aux valeurs de
données par l’équation
Pour toutes ces valeurs, la fonction
satisfera aux deux équations :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\qquad (g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba9f4cd4d95a35c9fd614441a4c1bf331c3051d)