![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }\mathrm {Y} '\rho \,rdr\,d\theta =&\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dx}}rdr\,d\theta ,\\\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho \,rdr\,d\theta =&\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dx}}rdr\,d\theta \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f54b0f55f668fdd3f487b3cd4344af9d4fe871e)
et ce sont ces deux formules que nous emploierons à leur place
(40) Je développe, comme il vient d’être dit, les quantités
suivant les puissances et les produits de
et
je mets pour ces variables, leurs valeurs
et
j’effectue les intégrations, et en négligeant ensuite la quatrième puissance de
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Y} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta ^{2}}}\right)&={\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dx}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{dxd\eta ^{2}}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{dxd\zeta ^{2}}}\right),\\\mathrm {Z} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}\right)&={\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dx}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{dxd\eta ^{2}}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{dxd\zeta ^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f901fff231bb583a4a29c73352f30308b7b6be)
équations dans lesquelles on fera
après les différentiations, et où l’on représente par
et
ce que deviennent alors
et ![{\displaystyle \mathrm {Z} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a49edc4c713eacf0ad1446e0c4a96dbfde2e195)
Je développe de même la première équation (3). Son premier membre formera une série ordonnée suivant les puissances de
dont les différents termes renfermeront les puissances et les produits de
et
Comme elle devra subsister pour toutes les valeurs de
il faudra égaler séparément à zéro la somme des coefficients de chaque puissance et de chaque produit de
et
or, en s’arrêtant au carré de
inclusivement, on aura sept espèces de termes qui dépendront de
après qu’on aura remplacé
et