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de très-petites quantités qui expriment les déplacements du point $\mathrm {M} .$ Ces trois variables seront des fonctions de $x\,;$ et les valeurs de $y$ et $z$ feront connaître la courbe à double courbure, formée par l’axe de la verge après son changement de forme. Appelons $\mathrm {M} '$ un autre point de la verge, situé primitivement dans la section normale à l’axe des $x,$ qui passe par le point $\mathrm {M} \,;$ son abscisse primitive sera $x\,;$ nous désignerons par $\eta$ et $\zeta ,$ ses deux autres coordonnées primitives, respectivement parallèles aux axes des $y$ et $z,$ et par $x+u',\eta +v',\zeta +w',$ ses trois coordonnées subséquentes, de sorte que $u',v',w',$ soient des fonctions de $x,\eta ,\zeta ,$ qui expriment les petits déplacements de $\mathrm {M} ',$ parallèlement aux axes des $x,y,z.$ Dans le cas de $\eta =0,$ $\zeta =0,$ le point $\mathrm {M} '$ sera le même que $\mathrm {M} ,$ et l’on aura $u'=u,$ $v'=y,$ $w'=z.$ Relativement à ce point $\mathrm {M} ',$ et à cause de $\mathrm {K} =0,$ les forces $\mathrm {P_{1},P_{2}} ,$ etc., du n^o 7, auront pour expressions :

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {R} _{3}=\mathrm {P} _{1}&=-k\left({\frac {du'}{d\zeta }}+{\frac {dw'}{dx}}\right),\\\mathrm {Q} _{3}=\mathrm {P} _{2}&=-k\left({\frac {du'}{d\eta }}+{\frac {dv'}{dx}}\right),\\\mathrm {R} _{2}=\mathrm {Q} _{1}&=-k\left({\frac {dv'}{d\zeta }}+{\frac {dw'}{d\eta }}\right),\\\mathrm {P} _{3}&=-k\left(3{\frac {du'}{dx}}+{\frac {dv'}{d\eta }}+{\frac {dw'}{d\zeta }}\right),\\\mathrm {Q} _{2}&=-k\left({\frac {du'}{dx}}+3{\frac {dv'}{d\eta }}+{\frac {dw'}{d\zeta }}\right),\\\mathrm {R} _{1}&=-k\left({\frac {du'}{dx}}+{\frac {dv'}{d\eta }}+3{\frac {dw'}{d\zeta }}\right)\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

et les équations (3) du n^o 8 seront :