qu’il s’agira de déterminer en fonctions de
et de
Mais pour simplifier la question encore davantage, nous supposerons que la corde soit homogène et d’une épaisseur constante, ce qui rendra p et a constantes, et qu’elle ne soit soumise à aucune force donnée, ce qui rendra nulles ![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001a4e03ea846a7fb3aec47c19300ba864983a07)
Cela posé, les équations du mouvement déduites des équations (3), seront :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}=0,\\&\rho {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0,\\&\rho {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bef7140a4bb2c82304ec81dc5cc7da98832fe9e)
De plus l’élément
devenant
au bout du temps
sa dilatation sera
et comme il remplace l’élément
de la courbe, on aura, d’après le no 25,
![{\displaystyle \delta ={\frac {du}{dx}},\qquad \mathrm {T} =-{\frac {5k}{2}}{\frac {du}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77876398201f3eddee475b19b1a7ec7df9ec5be1)
Pour plus de clarté, je distinguerai deux parties dans le déplacement
du point
Je supposerai qu’on ait d’abord fait éprouver à la corde une tension constante, qui ait produit un allongement
la partie correspondante de
sera
étant, comme plus haut, la longueur primitive de la corde, et la variable
ayant pour origine une de ses extrémités. Dans cet état, on fixe les deux bouts de la corde, puis on la met en mouvement d’une manière quelconque. Il en résultera pour le point
un nouveau déplacement qui sera une fonction inconnue de
et
et que je représenterai par
les valeurs