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${\frac {dz}{ds}}c''+{\frac {dy}{ds}}c'+{\frac {dx}{ds}}c=0.$

Si l’on s’en sert pour éliminer $c,$ par exemple, et si l’on observe que chacun des deux autres cosinus $c'$ et $c''$ pourra prendre une infinité de valeurs différentes, on en conclura qu’après l’élimination, leurs coefficients devront être séparément nuls dans chacune des trois équations précédentes ; ce qui fournira six équations, savoir :

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {P} _{1}{\frac {dx}{ds}}&-\mathrm {P} _{3}{\frac {dz}{ds}}&&=0,\qquad &&\mathrm {P} _{2}{\frac {dx}{ds}}&&-\mathrm {P} _{3}{\frac {dy}{ds}}&&=0,\\\mathrm {Q} _{1}{\frac {dx}{ds}}&-\mathrm {Q} _{3}{\frac {dz}{ds}}&&=0,&&\mathrm {Q} _{2}{\frac {dx}{ds}}&&-\mathrm {Q} _{3}{\frac {dy}{ds}}&&=0,\\\mathrm {R} _{1}{\frac {dx}{ds}}&-\mathrm {R} _{3}{\frac {dz}{ds}}&&=0,&&\mathrm {R} _{2}{\frac {dx}{ds}}&&-\mathrm {R} _{3}{\frac {dy}{ds}}&&=0.\end{alignedat}}$

D’ailleurs, à cause de $\mathrm {K} =0,$ nous avons déja remarqué (n^o 7) qu’on a

$\mathrm {Q_{3}=P_{2},\qquad R_{2}=Q_{1},\qquad R_{3}=P_{1}} .$

Voilà donc neuf équations entre les neuf inconnues $\mathrm {P_{1},Q_{1}} ,$ etc.; mais l’une d’elles est une suite des autres ; et elles ne peuvent servir à déterminer que huit inconnues, ou, ce qui revient au même, les neuf quantités $\mathrm {P_{1},Q_{1}} ,$ etc., au moyen d’une nouvelle inconnue. On y satisfait effectivement en prenant

$\mathrm {R_{3}=P_{1}=T} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dz}{ds}},\quad \mathrm {Q_{3}=P_{2}=T} {\frac {dx}{ds}}{\frac {dy}{ds}},\quad \mathrm {R_{2}=Q_{1}=T} {\frac {dy}{ds}}{\frac {dz}{ds}},$

$\mathrm {P_{3}=T} {\frac {dx^{2}}{ds^{2}}},\qquad \mathrm {Q_{2}=T} {\frac {dy^{2}}{ds^{2}}},\qquad \mathrm {R_{1}=T} {\frac {dz^{2}}{ds^{2}}}\,;$

$\mathrm {T}$ étant cette nouvelle inconnue qui reste indéterminée.

En observant que $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=ds^{2},$ on conclut de