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et désigner par

$\mathrm {R=P+Q{\sqrt {-1}},\qquad R'=P-Q{\sqrt {-1}}} ,$

les valeurs correspondantes de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '\,;$ $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant aussi des quantités réelles : l’équation (12) sera alors

$\int _{0}^{l}\mathrm {\left(P^{2}+Q^{2}\right)} dr=0\,;$

mais tous les éléments de cette intégrale étant positifs, elle ne peut être nulle à moins qu’on n’ait

$\mathrm {P^{2}+Q^{2}=0,\quad ou\quad P=0\quad et\quad Q=0} ,$

pour toutes les valeurs de $r\,;$ or, on tirerait de ces équations des valeurs de $p$ et $q$ dépendantes de cette variable, ce qui est inadmissible, et par conséquent aussi la supposition des racines imaginaires. D’après la forme de $\mathrm {R} ,$ les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont des fonctions de $pr$ et $qr,$ en sorte que les valeurs de $p$ et $q$ dont il est question seraient en raison inverse de $r.$

(22) Le terme de la formule (13) qui répond à $\mu =0$ est évidemment nul ; cette formule ne sera donc composée que de termes périodiques ; et si l’on appelle $\tau$ le temps périodique de l’un quelconque d’entre eux, on aura

$\mu \,a\tau =2\pi ,\qquad \tau ={\frac {2\pi }{\mu }}{\sqrt {\frac {\rho }{3k}}},$

en remettant pour $a$ sa valeur (n^o 16). Mais toutes les valeurs de $\mu$ étant incommensurables, la sphère ne pourra exécuter des vibrations isochrones et faire entendre un son unique et appréciable, à moins que, d’après son état initial, tous les termes de la formule (13) ne se réduisent à un seul. En