Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/673

en intégrant par parties, il vient

${\begin{aligned}&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=(\mu \,l\cos .\mu \,l-\sin .\mu \,l){\frac {\sin .\mu 'l}{l}}+\mu ^{2}\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr,\\&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=(\mu 'l\cos .\mu 'l-\sin .\mu 'l){\frac {\sin .\mu \,l}{l}}+\mu '^{2}\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr\,;\end{aligned}}$

d’après l’équation (4), dont $\mu$ et $\mu '$ sont des racines, on a

${\begin{aligned}&\mu \,l\cos .\mu \,l-\sin .\mu \,l=-{\frac {3\mu ^{2}l^{2}}{4}}\sin .\mu \,l,\\&\mu 'l\cos .\mu 'l-\sin .\mu 'l)=-{\frac {3\mu '^{2}l^{2}}{4}}\sin .\mu 'l\,;\end{aligned}}$

on aura donc

${\begin{aligned}&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=\mu ^{2}\left(\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr-{\frac {3l}{4}}\sin .\mu \,l\sin .\mu 'l\right),\\&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=\mu '^{2}\left(\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr-{\frac {3l}{4}}\sin .\mu \,l\sin .\mu 'l\right)\,;\end{aligned}}$

d’où il résulte

$\left(\mu ^{2}-\mu '^{2}\right)\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=0\,;$

par conséquent l’intégrale $\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr$ est zéro, quand le facteur $\mu ^{2}-\mu '^{2}$ ne ne l’est pas, ce qu’il s’agissait de vérifier.

On conclut de cette équation (12), ainsi vérifiée, que l’équation (4) n’a que des racines réelles. En effet, supposons qu’elle ait des racines imaginaires, et soit $p+q{\sqrt {-1}}$ une couple de semblables racines ; $p$ et $q$ étant des quantités réelles dont la seconde n’est pas nulle : on pourra prendre

$\mu =p+q{\sqrt {-1}},\qquad \mu '=p-q{\sqrt {-1}},$