en intégrant par parties, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=(\mu \,l\cos .\mu \,l-\sin .\mu \,l){\frac {\sin .\mu 'l}{l}}+\mu ^{2}\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr,\\&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=(\mu 'l\cos .\mu 'l-\sin .\mu 'l){\frac {\sin .\mu \,l}{l}}+\mu '^{2}\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677ba8665b26e166fe4ddee7a7b176ff5cb71e8d)
d’après l’équation (4), dont
et
sont des racines, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \,l\cos .\mu \,l-\sin .\mu \,l=-{\frac {3\mu ^{2}l^{2}}{4}}\sin .\mu \,l,\\&\mu 'l\cos .\mu 'l-\sin .\mu 'l)=-{\frac {3\mu '^{2}l^{2}}{4}}\sin .\mu 'l\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14456d1003333d764cc71dec069e196b6a0b6edf)
on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=\mu ^{2}\left(\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr-{\frac {3l}{4}}\sin .\mu \,l\sin .\mu 'l\right),\\&\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=\mu '^{2}\left(\int _{0}^{l}\sin .\mu \,r\sin .\mu 'r\,dr-{\frac {3l}{4}}\sin .\mu \,l\sin .\mu 'l\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123e1b11831bd834d76efe0f5d81fa99c23f2fee)
d’où il résulte
![{\displaystyle \left(\mu ^{2}-\mu '^{2}\right)\int _{0}^{l}\mathrm {RR'} dr=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad1cf1923969ecf9050b543762102488e8856ac)
par conséquent l’intégrale
est zéro, quand le facteur
ne ne l’est pas, ce qu’il s’agissait de vérifier.
On conclut de cette équation (12), ainsi vérifiée, que l’équation (4) n’a que des racines réelles. En effet, supposons qu’elle ait des racines imaginaires, et soit
une couple de semblables racines ;
et
étant des quantités réelles dont la seconde n’est pas nulle : on pourra prendre
![{\displaystyle \mu =p+q{\sqrt {-1}},\qquad \mu '=p-q{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8eca3e649956092b2f2e442b39b632ac3f5b61)