Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/669

Pour les déterminer, j’observe qu’à l’origine du mouvement le déplacement ${\frac {d\varphi }{dr}}$ de chaque point de la sphère et sa vitesse ${\frac {d^{2}\varphi }{drdt}}$ doivent être connues en fonctions de $r\,;$ les valeurs initiales de $\varphi ',\,{\frac {d\varphi '}{dt}},\,\psi ,\,{\frac {d\psi }{dt}},$ seront donc aussi données ; et si l’on compte le temps $t$ à partir de cette origine et que l’on fasse

$\varphi '=fr,\quad {\frac {d\varphi '}{dt}}=f'r,\quad \psi =rfr,\quad {\frac {d\psi }{dt}}=rf'r,$

pour $t=0,$ les deux fonctions $fr$ et $f'r$ seront données pour toutes les valeurs de $r,$ depuis $r=0$ jusqu’à $r=l.$ En faisant par conséquent $t=0$ dans l’équation (11) et dans sa différentielle relative à $t,$ et remettant pour $\mathrm {R}$ ce que cette lettre représente, nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {D} \ &=\int _{0}^{l}(\mu \,r\cos .\mu \,r-\sin .\mu \,r)fr\,dr,\\\mathrm {D} '&={\frac {1}{\mu \,a}}\int _{0}^{l}(\mu \,r\cos .\mu \,r-\sin .\mu \,r)f'r\,dr,\end{aligned}}$

pour les valeurs demandées de $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} '.$

Ces deux quantités étant ainsi déterminées, je mets dans le premier membre de l’équation (11), la formule (7) à la place de $\psi .$ Cette équation devant subsister quelque soit $t,$ il faut que les coefficients des termes semblables soient égaux dans ses deux membres ; d’où l’on conclut 1^o que $\mu '$ et $\mu$ étant deux racines de l’équation (4), telles que $\mu '^{2}$ et $\mu ^{2}$ soient différents, il faudra qu’on ait

$\int _{0}^{l}\mathrm {RR} 'dr=0,\qquad$(12)