mières variables, devait s’étendre à tous les points de l’espace, il faudra qu’il en soit de même à l’égard de l’intégrale relative à
ce qui exige que cette intégrale triple soit prise entre les limites que nous avons assignées.
(11) Si l’on fait
et si l’on suppose que la fonction
ne dépende que de
et
l’équation (7) se changera en celle-ci :
![{\displaystyle {\frac {d.r\varphi }{dt}}=a{\frac {d^{2}.r\varphi }{dr^{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f813ef1fdc1d1b64dac4e5757dd95c6a39171b)
(8)
et la valeur précédente de
deviendra
![{\displaystyle \varphi =\iiint e^{-s^{2}}f_{\rho }.s^{2}\sin .u\,ds\,du\,dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83813293482a501325cc2efeee00c0c9992d4738)
en supposant qu’on ait, dans ce cas particulier,
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x+2s{\sqrt {at}}\cos .u)^{2}+(y&+2s{\sqrt {at}}\sin .u\sin .v)^{2}\\&+(z+2s{\sqrt {at}}\sin .u\cos .v)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1211922e55618c431c34100a1cfe30c21ec4fbc4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}=r^{2}+4s{\sqrt {at}}(x\cos .u+y\sin .u\sin .v&+z\sin .u\cos .v)\\&+4ats^{2}=\rho ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b029c2120663f10b113358b7fda5a5338c0bace)
D’après le théorême contenu dans l’équation (1), nous aurons
![{\displaystyle =\iint f_{\rho }.\sin .u\,du\,dv=2\pi \int f_{\rho '}.\sin .\theta \,d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9790de97eb9e6244fe7029a0369b693848fec700)
si nous faisons
![{\displaystyle r^{2}+4rs{\sqrt {at}}\cos .\theta +4ats^{2}=\rho ^{'2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cb020a5a9948e9d52b5434044e48a778bc5209)
On tire de là
![{\displaystyle \sin .\theta \,d\theta =-{\frac {\rho 'd\rho '}{2rs{\sqrt {at}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d234123a79a5a33b85561a09f6fa4530e7810a)