Or, si l’on fait, dans ce cas,
et, pour abréger,
![{\displaystyle (x+at\cos .u)^{2}+(y+at\sin .u\sin .v)^{2}+(z+at\sin .u\cos .v)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c5a0043d2c14c992b9ab181e0906df41dbb25d)
![{\displaystyle =r^{2}+2at(x\cos .u+y\sin .u\sin .v+z\sin .u\cos .v)+a^{2}t^{2}=\rho ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e26ca8006800920811269fdd6806fce73cf38e3)
les fonctions arbitraires, contenues sous les signes d’intégration dans l’intégrale générale, seront
et
et cette intégrale deviendra
![{\displaystyle \varphi =\iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv+{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F_{\rho }} .t\sin .u\,du\,dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad1a6da85f18443f031bb93679fcb3170d9bebd)
En vertu de l’équation (1), nous aurons
![{\displaystyle \iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv=2\pi \iint f_{\rho '}.t\sin .\theta \,d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de61980f3aa5529e11fe4544c8f50c9e97ee2487)
en faisant
![{\displaystyle r^{2}+2atr\cos .\theta +a^{2}t^{2}=\rho ^{'2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2dc2093a85bead2294484f8f037a472a1ae4f9)
et intégrant depuis
jusqu’à
Si l’on différencie cette valeur de
par rapport à
on aura
![{\displaystyle -2atr\sin .\theta \,d\theta =2\rho 'd\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f8adec9165ef878a6ed892222999323e80a04a)
par conséquent, l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle \iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv=-{\frac {2\pi }{ar}}\int f_{\rho '}.\rho 'd\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b88599ec1f0033316c940dc4bc46bc5db0a06d)
donc, en faisant
et observant qu’on a
aux deux limites
on en conclura
![{\displaystyle \iint f_{\rho }.t\sin .u\,du\,dv={\frac {2\pi }{ar}}\left(f_{1}(r+at)-f_{1}(r-at)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5a852f3dd5e54697ac5a9c552c938223fad1dc)
Je substitue la fonction
à
et en différenciant par rapport à
il vient
![{\displaystyle {\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F_{\rho }} .t\sin .u\,du\,dv={\frac {2\pi }{r}}\left((r+at)\operatorname {F_{1}} (r+at)+(r-at)\operatorname {F_{1}} (r-at)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6319b7576c9f7e5ecc97270649ca8d88805bfc49)