hauteurs relatives à chacun des six jours, et que l’on représente la loi de ces sommes par
![{\displaystyle \zeta \,t^{2}+\zeta 't+\zeta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7caf457ccb656ebf3d33a10e1902d45b6380448)
étant le temps écoulé depuis la haute marée du soir du jour qui précède la syzigie, l’intervalle de deux marées consécutives du soir étant pris pour unité ; on aura les six équations de condition suivantes,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&&\quad \;\zeta ''&&=f;\\\zeta &+\zeta '&&+\zeta ''&&=f';\\4\zeta &+2\zeta '&&+\zeta ''&&=f'';\\9\zeta &+3\zeta '&&+\zeta ''&&=f''';\\16\zeta &+4\zeta '&&+\zeta ''&&=f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}};\\25\zeta &+5\zeta '&&+\zeta ''&&=f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4269b837a2f317d74627fd9bfa035cfd3345682a)
Si l’on multiplie chacune de ces équations, respectivement par le coëfficient de
et que l’on fasse la somme de ces produits ; si l’on fait des sommes semblables relativement aux coefficiens de
et de
ces trois sommes formeront les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}979.\zeta &+225.\zeta '+55.\zeta ''=f'+4f''+9f'''+16f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+25f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}};\\225.\zeta &+55.\zeta '+15.\zeta ''=f'+2f''+3f'''+4f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+5f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}};\\55.\zeta &+15.\zeta '+6.\zeta ''=f+f'+f''+f'''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7af916220972bc722bfb9b5f3246544aa4218f2)
Ces équations donnent
![{\displaystyle \zeta ={\frac {10.\left(f+f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-f''-f'''\right)+2(f''+f'''-f'-f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{112}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6d531eff315bdbeac677d1f98be3696d1edece)
![{\displaystyle \zeta '={\frac {5.(f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-f)+3.(f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-f')+f'''-f''}{35}}-5\zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555cb722820bda30c57fd67694b1667fba0cc2e2)