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$\int \mathrm {D} v^{2}dx=\mathrm {D} a\int (\varphi z)^{2}dz\,;$

l’intégrale étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=\theta .$

L’onde réfléchie s’étend depuis $x=2l-at$ jusqu’à $x=2l-at+a\theta \,;$ la somme des forces vives des trauches fluides qui la composent, sera égale à l’intégrale $\int \mathrm {D} v_{1}^{2}dx,$ prise entre ces limites ; et en substituant pour $v_{1}$ sa valeur, et faisant $t-{\frac {2l-x}{a}}=z,$ il vient

$\int \mathrm {D} v_{1}^{2}dx={\frac {\mathrm {D} (1-c)^{2}a}{(1+c)^{2}}}\int (\varphi z)^{2}dz\,;$

l’intégrale relative à $z$ étant aussi prise depuis $z=0,$ jusqu’à $z=\theta .$

Enfin, l’onde transmise dans le second fluide, dont la densité naturelle est $\mathrm {D} ',$ s’étend depuis $x=a't-a'\theta +nl-l$ jusqu'à $x=a't+nl-l\,;$ la somme des forces vives sera donc $\int \mathrm {D} 'v^{'2}dx,$ prise entre ces limites : je substitue pour $v'$ sa valeur, il en résulte

$\int \mathrm {D} 'v^{'2}dx={\frac {4\mathrm {D} '}{(1+c)^{2}}}\int \left(\varphi \left(t-{\frac {x+nl-l}{a'}}\right)\right)^{2}dx\,;$

et si l’on fait $t-{\frac {x+nl-l}{a'}}=z,$ on aura

$\int \mathrm {D} 'v^{'2}dx={\frac {4\mathrm {D} 'a'}{(1+c)^{2}}}\int \left(\varphi z\right)^{2}dz\,;$

les limites de l’intégrale étant toujours $z=0$ et $z=\theta .$

On voit d’abord que chacune de ces trois sommes de forces vives est une quantité constante ; je dis, de plus, que la première est égale à la somme des deux autres, ou qu’on a