Si l’on retranche l’une de l’autre, après y avoir mis
à la place de
et que l’on différentie le résultat par rapport à
il vient
|
|
(9)
|
On a en outre
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin .\rho (\rho '+at){\frac {d\rho }{\rho }}={\frac {1}{2}}\pi ,\qquad \int _{0}^{\infty }\sin .\rho (\rho '-at){\frac {d\rho }{\rho }}=\pm {\frac {1}{2}}\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04526a378d107ee0a7ab853a7ab10c04ed27e7e2)
en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que
est positif ou négatif. On conclut de là
![{\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho at\sin .\rho \rho '{\frac {d\rho \,d\rho '}{\rho \rho '}}={\frac {1}{2}}\pi \int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z'){\frac {d\rho '}{\rho '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3727bffed22965044fd20bbab6a1fa47f30b23f0)
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\pi \int _{0}^{at}\varphi (x',y',z'){\frac {d\rho '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\pi \int _{at}^{\infty }\varphi (x',y',z'){\frac {d\rho '}{\rho '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76f09a7be1cfbb8702d078b5907545aa7724c1a)
ou, ce qui est la même chose,
|
|
(10)
|
Au moyen des équations (8), (9), (10), les formules (7) deviennent