![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\beta \gamma \sin .\theta \,d\theta \,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e6594511f42f140ca71b76bccad2a27b21a855)
![{\displaystyle =\pi \sin .^{2}\theta '\sin .\omega '\cos .\omega '\int _{0}^{\pi }\left(2\cos .^{2}\theta _{1}-\sin .^{2}\theta _{1}\right)\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\sin .\theta _{1}d\theta _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0953f23b4cf3b4052c9b584c1203248320c235e3)
en effectuant les intégrations relatives à
Les intégrales qui répondent à
s’obtiennent aussi par les règles ordinaires ; il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }&\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\alpha ^{2}\sin .\theta \,d\theta \,d\omega =4\pi \sin .^{2}\theta '\left({\frac {\sin .\rho \rho '}{\rho ^{3}\rho '^{3}}}-{\frac {\cos .\rho \rho '}{\rho ^{2}\rho '^{2}}}\right)\\&+4\pi \cos .^{2}\theta '\left({\frac {\sin .\rho \rho '}{\rho \rho '}}+{\frac {2\cos .\rho \rho '}{\rho ^{2}\rho '^{2}}}-{\frac {2\sin .\rho \rho '}{\rho ^{3}\rho '^{3}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf8014244546a202dbc1837cd5b32447fde9f7e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\beta \gamma \sin .\theta \,d\theta \,d\omega =&4\pi \sin .\theta '\sin .^{2}\omega '\cos .\omega '\left({\frac {\sin .\rho \rho '}{\rho \rho '}}\right.\\&\left.+{\frac {3\cos .\rho \rho '}{\rho ^{2}\rho '^{2}}}-{\frac {3\sin .\rho \rho '}{\rho ^{3}\rho '^{3}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f89b043f61638c51a435de2436ed3be2ab913b)
et, par conséquent,
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(7)
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Si l’on désigne par
une constante positive, et par
la base de logarithmes népériens, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\int _{0}^{\pi }e^{-g\rho }\cos .\rho at\cos .\rho \rho 'd\rho &={\frac {g}{g^{2}+(\rho '-at)^{2}}}+{\frac {g}{g^{2}+(\rho '+at)^{2}}},\\2\int _{0}^{\pi }e^{-g\rho }\sin .\rho at\sin .\rho \rho 'd\rho &={\frac {g}{g^{2}+(\rho '-at)^{2}}}-{\frac {g}{g^{2}+(\rho '+at)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63424933fea60980d2bd5bbb199706b8364ae95f)